Długości dwóch boków trójkąta są równe 2 i 1. Miara kąta między tymi bokami jest dwa razy większa od miary kąta na przeciwko boku długości 2. Wyznacz długość trzeciego boku tego trójkąta.

Zadanie dodane przez Mar1in , 31.10.2012 14:37

Nadesłane rozwiązania ( 2 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Kbukowczyk , 02.11.2012 16:09

Np wykorzystujac tw sinusow i korzystajac z tozsamosci trygonometrycznych dostajemy uklad rownan:

$\left\{\begin{array}{lr}\frac{2}{sin(\alpha)}=\frac{1}{sin(3\alpha)}\\\frac{2}{sin(\alpha)}=\frac{x}{sin(2\alpha)} \end{array}\right$

Pierwsze rownanie, korzystajac z tozsamosci trygonometrycznych, sprowadza sie do postaci:
$sin(\alpha)=6sin(\alpha)-8sin^{3}(\alpha)$
Co po rozwiazaniu ze wzgledu na sin daje:
$\sin{\alpha}=0 \vee \sin{\alpha}=\pm\sqrt{\frac{5}{8}}$

Drugie rownanie, wykorzystujac tozsamosci trygonometryczne, sprowadza sie do:
$x\sin{\alpha}=2\sin{2\alpha} \Leftrightarrow x\sin{\alpha}=4\sin{\alpha}\cos{\alpha} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x=4\cos{\alpha}$

Operacje dzielenia obustronnie przez $\sin{\alpha}$ moglismy przeprowadzic, gdyz wiemy ze $\sin{\alpha}\neq 0 \Leftarrow \alpha\neq 0$ , z tego tez powodu odrzucamy rozwiazanie $\sin{\alpha}=0$ natomiast rozwiazanie $\sin{\alpha}=\sqrt{-\frac{5}{8}}$ odrzucamy, gdyz wiemy ze $\alpha$ lezy w przedziale $(0;\pi)$ , a funkcja sin dla tych argumentow nie przyjmuje wartosci ujemnych.

Wobec tego wyliczamy $\cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-\sin^{2}{\alpha}}$ z
jedynki trygonometrycznej, podstawiamy rozwiazanie i otrzymujemy $\cos{\alpha}=\pm\sqrt{\frac{3}{8}}$
Ujemne rozwiazanie odrzucamy z takiego samego powodu co poprzednio.

Wobec tego rozwiazanie przyjmuje postac: $x=4\sqrt{\frac{3}{8}}$

- Mar1in 03.11.2012 15:30
  
  Dlaczego trzeci kąt jest oznaczony jako (3 $\alpha$ ) ?
  Z treści zadania wynikają tylko dwa kąty a trzeci nie powinien być oznaczony jako 180stopni - 3alfa?
Dodaj komentarz

Rozwiązanie 2 dodane przez likoms , 19.03.2013 18:18

Ponieważ sinus w 2 ćwiartce jest dodatni przypomnij wierszyk sobie
w 1 wszystkie są dodatnie
w 2 tylko sin
w 3 tg i ctg
a w 4 cos ;p

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Długości dwóch boków trójkąta są równe 2 i 1. Miara kąta między tymi bokami jest dwa razy większa od miary kąta na przeciwko boku długości 2. Wyznacz długość trzeciego boku tego trójkąta.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 2 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: