Dana jest funkcja określona wzorem y = $sin^{2}$x - 20cosx + 1. Wyznacz jej największą i najmniejszą wartość.

Zadanie dodane przez kasia1994 , 22.11.2012 09:27

Dana jest funkcja określona wzorem y = $sin^{2}$ x - 20cosx + 1. Wyznacz jej największą i najmniejszą wartość.

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Science4U , 23.11.2012 08:47

$f(x)=\sin ^2x-20\cos x+1=$
$=1-\cos ^2x-20\cos x+1=$
$=-\cos ^2x-20\cos x+2$

wprowadzę pomocniczą zmienną:
$t=\cos x$
$t\in \langle -1,1\rangle$

$f(t)=-t^2-20t+2$

To funkcja kwadratowa określona na przedziale domkniętym $D=\langle -1,1\rangle$ .

Zgodnie z wyznaczaniem wartości najmniejszej i największej funkcji kwadratowej określonej na przedziale domkniętym należy sprawdzić, czy pierwsza współrzędna wierzchołka należy do przedziału $D$ oraz obliczyć odpowiednie wartości na końcach przedziału, a więc:

$p=\cfrac{-b}{2a}=\cfrac{20}{-2}=-10\notin D$

$f(-1)=-(-1)^2-20* (-1)+2=21$

$f(1)=-1^2-20* 1+2=-19$

$t=-1$
$\cos x=-1$
$\Downarrow$
$x=\pi +2k\pi$ , $k\in \mathbb{C}$

$t=1$
$\cos x=1$
$\Downarrow$
$x=2k\pi$ , $k\in \mathbb{C}$

Zatem największa wartość funkcji $f(x)$ to $21$ oraz jest osiągana dla argumentów $x=\pi +2k\pi$ , $k\in \mathbb{C}$ , a najmniejsza wartość funkcji $f(x)$ to $-19$ i jest osiągana dla argumentów $x=2k\pi$ , $k\in \mathbb{C}$ .

Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dana jest funkcja określona wzorem y = $sin^{2}$x - 20cosx + 1. Wyznacz jej największą i najmniejszą wartość.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: