Rozwiąż równanie: $||x+1|-2| = 1$

[[x+1]-2]=1
x=1+2-1
x=3-1
x=2

Z definicji wartości bezwzględnej wyrażenie ||x + 1| - 2| = 1 może wynosić
a) |x + 1| - 2 = 1
lub
b) |x + 1| + 2 = 1.
Najpierw zajmę się pierwszym przypadkiem.
a) |x + 1| - 2 = 1
|x + 1| = 3

*Teraz szukamy w jakich przedziałach liczbowych wartość wyrażenia pod wartością bezwzględną (czyli x + 1) przyjmuje wartość dodatnią, a w jakich ujemną.

|x + 1| =
* x + 1 dla x +1 >= (większe równe) 0 => x >= -1
* -(x + 1) dla x + 1 < 0 => x < -1

I teraz: |x + 1| = 3 przyjmuje dwa przypadki (1^ - tzn. przypadek pierwszy)
x + 1 = 3 lub -x - 1 = 3
I rozwiązujemy

1^ x + 1 = 3 dla x >= -1
x = 2, wynik równania (tzn. x = 2) spełnia warunki zadania, więc jet to nasze pierwsze rozwiązanie

2^ -x -1 = 3 dla x < -1
x = -4, spełnia warunki zadania i jest to nasze drugie rozwiązanie

Teraz przypadek drugi "pierwotny" przypadek
b) |x + 1| + 2 = 1
|x + 1| = - 1 <- tutaj występuje sprzeczność, ponieważ wartość bezwzględna jest zawsze większa bądź równa zero, więc przypadek drugi |x + 1| = - 1 nie ma rozwiązań

Odp.: Rozwiązanie równania ||x + 1| - 2| = 1 jest x = {-4, 2}.