Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x+3) jest równa 16. Pierwiastkiem wielomianu jest liczba 5. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez (x+3)(x-5)

1. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x+3) jest równa 16 -> W(-3) = 16
2. Pierwiastkiem wielomianu jest liczba 5 -> W(5) = 0
Czyli mamy układ (*):



Z twierdzenie o dzieleniu wielomianów:
Jeśli W(x) oraz P(x) są wielomianami i P(x) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie dwa wielomiany Q(x) oraz R(x), że W(x)=P(x)*Q(x) + R(x), gdzie R(x)=0 lub st.R(x) < st.P(x)
Niech P(x) = (x+3)(x-5) -> st(P(x)) = 2.

Zatem szukana reszta jest wielomianem stopnia 1 i niech R(x) = ax + b

Na mocy powyższego twierdzenia i (*) mamy:



Ale P(-3) = (-3+3)(-3-5) = 0, P(5) = (5+3)(5-5) = 0
Więc





Rozwiązujemy dany układ i otrzymujemy a = -2, b= 10

Szukana reszta jest wielomianem R(x) = -2x + 10