Rozłóż podany wielomian na czynniki, a następnie uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej $n$ jego wartość jest liczbą podzielną przez 6. a) $n^{3}-n$ b) $n^{5}-n$

Zadanie 3308 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez Pchelka , 27.04.2012 14:53
Default avatar
Rozłóż podany wielomian na czynniki, a następnie uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej n jego wartość jest liczbą podzielną przez 6.

a) n^{3}-n
b) n^{5}-n

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez d_mek , 27.04.2012 15:50
D mek 20120307223004 thumb
a)
W(n)= n^{3} - n
W(n)= n(n^{2} - 1)
W(n)= n(n-1)(n+1)
Wychodzi na to, że będzie to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, a w zbiorze 3 kolejnych liczb całkowitych zawsze znajdzie się jedna wielokrotność 3 i co najmniej jedna wielokrotność 2. Tak więc cały wielomian zawsze będzie podzielny przez 6.

b)
W(n)= n^{5} - n
W(n)= n(n^{4} - 1)
W(n)= n(n^{2}-1)(n^{2}+1)
W(n)= n(n-1)(n+1)(n^{2}+1)
Wychodzi na to, że będzie to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych i dodatkowej liczby nieujemnej, a w zbiorze 3 kolejnych liczb całkowitych zawsze znajdzie się jedna wielokrotność 3 i co najmniej jedna wielokrotność 2. Tak więc cały wielomian zawsze będzie podzielny przez 6.

P.S. Można to udowadniać za pomocą indukcji matematycznej, ale to już jest materiał na studia ;)

Pomogłem? Daj najlepsze rozwiązanie ;]
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.