31. Wielomian w(x)=x4+4x3+cx2+dx+1, gdzie c,d należą do zbioru liczb całkowitych ma dwa różne pierwiastki wymierne. Znaleźć niewymierne pierwiastki tego wielomianu.

Zadanie dodane przez kamil6803 , 10.01.2013 17:08

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez monijatcz , 11.01.2013 09:31

Jedynymi wymiernymi pierwiastkami tego wielomianu może być 1 lub -1 ( dzielniki wyrazu wolnego)
zatem
W(1)=0
W(-1)=0

1+4+c+d+1=0
1-4+c-d+1=0

c+d=-6
c-d=2
................ dodaje stronami
2c=-4
c=-2

-2+d=-6
d=-4

Otrzymujemy wielomian:
$W(x)=x^4+4x^3-2x^2-4x+1$

Skoro pierwiastkami jest 1 i -1 to wielomian jest podzielny przez x-1 i przez x+1 czyli przez $(x^2-1)$

$x^2+4x-1$
.....................................
$(x^4+4x^3-2x^2-4x+1):(x^2-1)$
$-x^4+x^2$
.............................
........... $4x^3-x^2-4x$
.......... $-4x^3+4x$
.........................................
................. $-x^2 +1$
.................. $x^2-1$
...........................
........................0

W(x)= $(x^2-1)(x^2+4x-1)$
Obliczamy pierwiastki $x^2-4x+1$
$\Delta=16-4=12$
$x_1=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$
$x_2=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$

Odp:Niewymierne pierwiastki wielomianu to:
$2-\sqrt{3}$ oraz $2-\sqrt{3}$

Pomogłam ?
Poproszę o punkty za najlepsze rozwiązanie.

- camelion 22.01.2014 20:11
  
  chyba w ostatniej czesci jest blad ... delta jest liczona z wyrazenia ze zmienionymi znakami
  powinna byc liczona z x2 + 4x - 1
Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

31. Wielomian w(x)=x4+4x3+cx2+dx+1, gdzie c,d należą do zbioru liczb całkowitych ma dwa różne pierwiastki wymierne. Znaleźć niewymierne pierwiastki tego wielomianu.

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: