Wielomian W(x)=$x^{3}$ - (a+b)$x^{2}$ - (a - b)x + 3, x∊R, jest podzielny przez wielomian P(x)=$x^{2}$ - 4x + 3. Wyznacz a i b, a następnie rozwiąż równianie W(x)=0

Zadanie dodane przez lensiak , 20.03.2014 13:33

Wielomian W(x)= $x^{3}$ - (a+b) $x^{2}$ - (a - b)x + 3, x∊R, jest podzielny przez wielomian P(x)= $x^{2}$ - 4x + 3. Wyznacz a i b, a następnie rozwiąż równianie W(x)=0

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez Draghan , 21.03.2014 21:05

Mamy dane, że W(x) jest podzielny bez reszty przez P(x). Musimy wyznaczyć trzeci wielomian, nazwijmy go Q(x), taki że
$W(x) = P(x) \times Q(x)$
Wielomian P(x) jest stopnia drugiego, zaś W(x) - stopnia trzeciego. Stąd wniosek, że nasz szukany wielomian będzie stopnia pierwszego. Czyli na początek:
$Q(x) = x$
Ale wiadomo, że coś jeszcze w nim brakuje, bo gdy teraz pomnożymy P(x) * Q(x), zostanie nam sporo reszty.
Skoro w P(x) występuje wyraz wolny +3, a w W(x) również taki wyraz wolny możemy znaleźć, stąd drugi wniosek, że do naszego szukanego Q(x) należy dodać 1.
Teraz nasz wielomian Q(x) jest kompletny i wygląda tak:
$Q(x) = x+1$

Musimy teraz wyznaczyć a i b. W tym celu musimy pomnożyć P(x) i Q(x), aby dostać odpowiednie współczynniki liczbowe W(x), z których moglibyśmy wyliczyć nasze a i b.
A więc do dzieła:
$W(x) = P(x) \times Q(x) = (x^{2}-4x+3)\times(x+1)=x^{3}+x^{2}-4x^{2}+3x+3=x^{3}-3x^{2}+x+3$

Teraz mamy już współczynniki liczbowe przy odpowiednich stopniach wielomianu W(x), zatem możemy wyznaczyć wreszcie a i b :)
Patrzymy, co stoi przy odpowiednich potęgach iksa i podstawiamy :) Wychodzi nam prościutki układ równań. /przepraszam, jeśli coś mi nie wyjdzie z Lateksem, muszę się do niego przyzwyczaić :P/
$\left\{ \begin{array}{lr}-(a+b)=-3&-(a-b)=1\end{array}\right$
$\left\{ \begin{array}{lr}a+b=3&-a+b=1\end{array}\right$
$\left\{ \begin{array}{lr}a=3-b&-a+b=1\end{array}\right$
$\left\{ \begin{array}{lr}a=3-b&-(3-b)+b=1\end{array}\right$
$\left\{ \begin{array}{lr}a=3-b&-3+b+b=1\end{array}\right$
$\left\{ \begin{array}{lr}a=3-b&2b=4\end{array}\right$
$\left\{ \begin{array}{lr}a=3-b&b=2\end{array}\right$
$\left\{ \begin{array}{lr}a=1&b=2\end{array}\right$

Teraz musimy obliczyć miejsca zerowe tego wielomianu. Autor zadania ułatwił nam sprawę i dzięki niemu nie musimy rozkładać W(x) na czynniki.
$W(x) = (x^{2}-4x+3)(x+1)$
$W(x) = 0$
$(x^{2}-4x+3)(x+1) = 0$
$x^{2}-4x+3 = 0 \ \vee \ x+1 = 0$
Obliczamy miejsca zerowe dla równania kwadratowego:
$x^{2}-4x+3 = 0$
$\Delta=(-4)^{2}-4\times3=16-12=4$
$\sqrt{\Delta} = 2$
$x_{1} = /frac{4-2}{2}=1$
$x_{2} = /frac{4+2}{2}=3$
I liczymy trzecie miejsce zerowe:
$x_{3}+1=0$
$x_{3}=-1$

$a = 1\ b = 2\ x_{1}=1\ x_{2}=3\ x_{3}=-1$

- Draghan 21.03.2014 21:10
  
  Ech, znowu coś nie tak napisałem. Przepraszam. Z układem równań nie mam pojęcia, co zrobiłem nie tak, że nie wyświetla mi równań w kolumnie, ale cóż...
  A z x1 i x2 postawiłem nie ten slash, co trzeba. Powinno to wyglądać tak:
  $x_{1} = \frac{4-2}{2}=1$
  $x_{2} = \frac{4+2}{2}=3$
  Jeszcze raz przepraszam za bałagan, ale kiedyś się nauczę :P Btw. powinna być opcja podglądu :P
- Draghan 21.03.2014 21:15
  
  I jeszcze jedna linia może wszystkim się nie wyświetlać do końca (mi się nie wyświetla :P), tam gdzie mnożę P(x)*Q(x), także wstawiam trochę krótszą:
  
  $P(x) \times Q(x) = (...) =x^{3}+x^{2}-4x^{2}+3x+3=x^{3}-3x^{2}+x+3$
Dodaj komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Wielomian W(x)=$x^{3}$ - (a+b)$x^{2}$ - (a - b)x + 3, x∊R, jest podzielny przez wielomian P(x)=$x^{2}$ - 4x + 3. Wyznacz a i b, a następnie rozwiąż równianie W(x)=0

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie: