droga z miasta A do miasta B ma długość 474 km.samochód jadący z miasta A do miasta B wyrusza godzinę póżniej niż samochód z miasta B do miasta A.Samochody te spotykają się w odległości 300km od miasta B.średnia prędkość samochodu,który wyjechał z miasta A,liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania,była o 17 km\h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania.oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania

Zadanie 2113 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez annasm78 , 23.02.2012 17:06
Annasm78 20120223162759 thumb
droga z miasta A do miasta B ma długość 474 km.samochód jadący z miasta A do miasta B wyrusza godzinę póżniej niż samochód z miasta B do miasta A.Samochody te spotykają się w odległości 300km od miasta B.średnia prędkość samochodu,który wyjechał z miasta A,liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania,była o 17 km\h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania.oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania

Nadesłane rozwiązania ( 1 )

Rozwiązanie 1 dodane przez dawid11204 , 23.02.2012 20:52
Dawid11204 20111106074654 thumb
V_{a} - średnia prędkość pojazdu ruszającego z miasta A
V_{b} - średnia prędkość pojazdu ruszającego z miasta B
T_{a} – czas od chwili wyruszenia samochodu z miasta A do momentu spotkania obu pojazdów
T_{b} – czas od chwili wyruszenia samochodu z miasta B do momentu spotkania obu pojazdów
S_{a} – droga przebyta przez pojazd ruszający z miasta A
S_{b} – droga przebyta przez pojazd ruszający z miasta B

Droga z miasta A do miasta B ma długość 474 km.
S_{a} + S_{b} =474
Samochód jadący z miasta A do miasta B wyrusza godzinę później niż samochód z miasta B do miasta A.
T_{a} = T_{b} -1 ( samochód A jechał o godzinę krócej niż samochód B, zanim nastąpił moment spotkania )
Lub
T_{b} = T_{a} + 1 (samochód B jechał o godzinę dłużej niż samochód A, zanim nastąpił moment spotkania)
Samochody te spotykają się w odległości 300 km od miasta B.
S_{b} = 300
S_{a} = 474 – 300 = 174
Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A, liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania, była o 17 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania.
V_{a} = V_{b} – 17 (prędkość samochodu wyjeżdżającego z miasta A byłaby równa prędkości samochodu wyjeżdżającego z miasta B gdyby pomniejszyć ją o 17 \frac{km}{h})
Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania.


Do wyliczenia V_{a}, V_{b}
Z treści zadania wiemy, że
(i) V_{a} = V_{b}– 17
Skorzystamy ze wzoru na prędkość średnią, czyli V = \frac{s}{t}
Możemy więc napisać, że
V_{a} = \frac{Sa}{Ta} oraz V_{b} =\frac{Sb}{Tb}
Czyli podstawiając V_{a} i V_{b} we wzorze (i) ich odpowiednikami, otrzymamy:
(ii) \frac{Sa}{Ta} = \frac{Sb}{Tb}– 17
Z treści wiemy też, że samochód wyjeżdżający z miasta B jechał o godzinę dłużej, czyli
T_{b} = T_{a}+ 1
Podstawiając to do równania (ii), otrzymujemy:
\frac{Sa}{Ta} = \frac{Sb}{(Ta+1)} – 17
Podstawiając dane z treści zadania, czyli:
S_{b} = 300
S_{a} = 174
Otrzymujemy
(iii) \frac{174}{Ta} = \frac{300}{(Ta+1)} – 17
Pozbywamy się ułamków przez mnożenie przez ( T_{a}) całego równania:
\frac{174}{Ta} = \frac{300}{(Ta+1)} – 17* T_{a} | * T_{a}
Pozbywamy się ułamków przez mnożenie przez ( T_{a}+1) całego równania:
174 = \frac{300*Ta}{(Ta+1)} -17* T_{a} | * (T_{a}+1)
174*( T_{a}+1) = 300* T_{a} – 17* T_{a}*( T_{a}+1)
Pozbywamy się nawiasów
174* T_{a} + 174 = 300* T_{a} – 17* Ta^{2} – 17* T_{a}
Przerzucamy prawą stronę na drugą i grupujemy wyrażenia
17* Ta^{2} + 174*T_{a} – 300*T_{a} + 17*T_{a} +174 = 0
Dodajemy i odejmujemy liczby z tymi samymi niewiadomymi
(iv) 17*Ta^{2}– 109*T_{a} +174 = 0

Czyli mamy równanie kwadratowe do wyliczenia:
Wyliczamy deltę:
\Delta = b^{2} – 4*a*c = 109^{2} – 4*17*174 = 11881 – 11832 = 49
Wyliczamy pierwiastki:
T_{a1} =(\frac{(109-7)}{(2*17)} = \frac{102}{34}
T_{a2} =(\frac{(109+7)}{(2*17 )}= \frac{116}{34}
Co znaczy że mamy dwa równoważne rozwiązania tego zadania
Wyliczmy więc V_{a}
V_{a1} = \frac{174}{Ta1} = \frac{174}{(102/34)} = 58 \frac{km}{h}
V_{a2} = \frac{174}{Ta2} = \frac{174}{(116/34)} = 51 \frac{km}{h}
Wyliczmy więc V_{b}
Wiemy że T_{b} = T_{a} +1
Więc
T_{b1} = T_{a1} +1 = \frac{102}{34} +1 = \frac{136}{34}
Oraz
T_{b2} = T_{a2}+1 = \frac{116}{34} +1 = \frac{150}{34}
Czyli odpowiednia prędkość średnia wynosi
V_{b1} = \frac{300}{(Tb1)} = \frac{300}{(136/34)} = 75
V_{b2} = \frac{300}{(Tb2)} = \frac{300}{(150/34)} = 68

Rozwiązaniem są więc dwie pary prędkości:
V_{a1} = 58 \frac{km}{h}, V_{b1} = 75 \frac{km}{h}
Oraz
V_{a2} = 51\frac{km}{h}, V_{b2} = 68 \frac{km}{h}
Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.