Wykaż, korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, że prawdziwa jest następująca równość: \sqrt[3]{38-17$\sqrt{5}} + \sqrt[3]{38+17$\sqrt{5}} = 4

Zadanie 4461 (rozwiązane)

Ekspresowy Kurs Maturalny z matematyki

Zdajesz matematykę bo musisz? Przygotuj się do matury nawet w 7 dni! Zapisz się dzisiaj
Zadanie dodane przez dynqa997 , 17.11.2012 11:23
Dynqa997 20121111093005 thumb
Wykaż, korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, że prawdziwa jest następująca równość:
\sqrt[3]{38-17\sqrt{5}} + \sqrt[3]{38+17\sqrt{5}} = 4

Nadesłane rozwiązania ( 2 )

Rozwiązanie 1 dodane przez matgeniusz3 , 17.11.2012 18:02
Matgeniusz3 20120822111618 thumb
musisz poprawić komende latex, albo napisz jak inni najprościej z klawiatury.
Musisz się zalogować aby dodać komentarz
Rozwiązanie 2 dodane przez monijatcz , 17.11.2012 18:04
Monijatcz 20121028144130 thumb
Domyśliłam się,że Twój przykład ma taką postać:
\sqrt[3]{38-17\sqrt{5}}+\sqrt[3]{38+17\sqrt{5}}=
Podpowiadają w treści zadania, że mamy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia. Liczbę pod pierwiastkiem trzeciego stopnia należy zamienić na wyrażenie w nawiasie do potęgi trzeciej,
Szukamy więc takich dwóch liczb by ich suma (lub różnica) podniesiona do potęgi trzeciej dała wyrażenie pod pierwiastkiem. Niestety to szukanie to metoda prób i błędów , na pewno jedna z liczb musi mieć pierwiastek z 5.
Na szczęście wpadły mi do głowy liczby : dwójka i piewrwiastek z 5 i je podniosłam do potęgi trzeciej jak poniżej: ( oczywiście gdyby te liczby nie pasowały to np wzięłabym 3 i pierwiastek z 5 lub inne)
(2+\sqrt{5})^3=2^3+3*2^2*\sqrt{5}+3*2*(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^3=
=8+12\sqrt{5}+6*5+5\sqrt{5}=38+17\sqrt{5}
Otrzymaliśmy wyrażenie pod drugim pierwiastkiem. Obliczmy teraz
(2-\sqrt{5})^3=2^3-3*2^2*\sqrt{5}+3*2*(\sqrt{5})^2-(\sqrt{5})^3=
=8-12\sqrt{5}+6*5-5\sqrt{5}=38-17\sqrt{5}
Otrzymaliśmy wyrażenie pod pierwszym pierwiastkiem
Zatem zamieniamy wyrażenia pod pierwiastkami na nawias w potędze trzeciej
\sqrt[3]{(2-\sqrt{5})^3}+\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^3}=
Możemy opuścić pierwiastek i potęge
(2-\sqrt{5})+(2-\sqrt{5})=2-\sqrt{5}+2-\sqrt{5}=4
co kończy dowód

Musisz się zalogować aby dodać komentarz

Znasz inny sposób na rozwiązanie tego zadania?

Dodaj swoje rozwiązanie

Dodaj swoje rozwiązanie:

Zabronione jest kopiowanie wszelkich treści!
Musisz się zalogować aby dodać rozwiazanie do zadania.
Strona korzysta z plików cookie w celu realizacji usług zgodnie z Polityką Prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi.