Liczba zespolona - podstawowe pojęcia.

Liczby zespolone uzupełniają zbiór liczb rzeczywistych. W zbiorze liczb rzeczywistych pewne równania jak np. x^2=-1  nie miały rozwiązania. W zbiorze liczb zespolonych takie równanie ma aż dwa rozwiązania. Liczby zespolone to nic innego jak pewne uporządkowane pary liczb rzeczywistych, dla których zostały określone działania.

Definicja: Liczby zespolone

Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych (a,b), gdzie a,b\in \mathbb{R}.

Zbiór liczb zespolonych oznaczamy \mathbb{C}=\mathbb{R}\times \mathbb{R}.

Definicja: Jednostka urojona
Liczbę (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy i.

Ważne:

i^2=-1

Dzięki powyższemu oznaczeniu możemy wprowadzić postać kanoniczą liczby zespolonej.

 

Definicja: Postać kanoniczna liczby zespolonej

Liczbę zespoloną z=(a,b) można zapisać w postaci kanonicznej

z=a+bi,

gdzie

a=Re\ z to jej część rzeczywista, natomiast

b=Im\ z to część urojona.

Przykład 1

z=3+5i

 

Re\ z=3

Im\ z=5

 

w=-4-7i

Re\ w=-4

Im\ w=-7

 

Definicja: Liczba sprzężona

Liczbą sprzężoną do liczby z=a+bi nazywamy liczbę postaci:

\bar{z}=a-bi

Przykład 2

z=3+5i

\bar{z}=3-5i

 

w=2-3i

\bar{w}=2+3i

Własności sprzężenia:

  • z* \bar{z}=|z|^2
  • \overline{z_1 \pm z_2}=\bar{z_1} \pm \bar{z_2}
  • \overline{\left(\cfrac{z_1}{z_2}\right)}=\cfrac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}
  • \overline{(\bar{z})}=z

 

Działania na liczbach zespolonych:

Dane mamy dwie liczby zespolone:

z=a+bi

w=c+di

Działania na liczbach zespolonych wykonujemy tak jak na liczbach rzeczywistych, pamiętając tylko o tym, że i^2=-1.

  • dodawanie

z+w=a+bi + c+di=(a + c)+(b + d)i

  • odejmowanie

z-w=a+bi - (c+di)=(a - c)+(b - d)i

  • mnożenie

z* w=(a+bi)* (c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=

=(ac-bd)+(bc+ad)i

  • dzielenie

 \cfrac{(a+bi)}{(c+di)}= \cfrac{(a+bi)(c-bi)}{(c+di)(c-bi)}=\cfrac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=

=\cfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\cfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i

Przykład 3

z=3+2i

w=2-6i

 

a) dodawanie

z+w=(3+2i)+(2-6i)=(3+2)+(2-6)i=5-4i

b) odejmowanie

z-w=(3+2i)-(2-6i)=3+2i-2+6i=1+8i

c) mnożenie

z* w=(3+2i)* (2-6i)=3* 2+3* (-6i)+2i* 2+2i* (-6i)=

=6-18i+4i-12i^2=6-14i-12* (-1)=18-14i

d) dzielenie

\cfrac{(3+2i)}{(2-6i)}=\cfrac{(3+2i)(2+6i)}{(2-6i)(2+6i)}=

=\cfrac{3* 2 +3* 6i+2* 2i+2i * 6i }{2^2+6^2}=\cfrac{-6+22i}{40}=-\cfrac{6}{40}+\cfrac{22}{40}i=-\cfrac{3}{20}+\cfrac{11}{20}i

 

Definicja: Moduł liczby zespolonej

Modułem liczby zespolonej z=a+bi, nazywamy pierwiastek sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej tej liczby.

|z|=\sqrt{a^2+b^2}.

Przykład 4

|7+6i|=\sqrt{49+36}=\sqrt{85}

|i|=|0+1* i|=\sqrt{0^2+1^2}=1

 

Własności modułu

  • z=0\Leftrightarrow |z|=0.
  • |z|=|\bar{z}|
  • \cfrac{1}{z}=\cfrac{\bar{z}}{{|z|}^2}, z \neq 0
  • z* \bar{z}=|z|^2

 

 

Interpretacja geometryczna liczb zespolonych.

Liczby zespolone zdefiniowaliśmy jako uporządkowane pary liczb rzeczywistych, zatem każdej liczbie zespolonej odpowiada dokładnie jeden punkt na płaszczyźnie kartezjańskiej i odwrotnie. Każdemu punktowi takiej płaszczyzny odpowiada dokładnie jedna liczba zespolona. Zatem płaszczyznę \mathbb{R}^2=\mathbb{R} \times \mathbb{R} możemy traktować jako zbiór wszystkich liczb zespolonych, czyli płaszczyznę zespoloną \mathbb{C}.

 

Przykład 5

Poniżej kilka liczb zespolonych zaznaczonych na płaszczyźnie zespolonej.

 

 

 

Popatrzmy jeszcze raz na liczbę z=a+bi zaznaczoną na płaszczyźnie \mathbb{C}. Zielony odcinek to promień wodzący liczby z=a+bi=(a,b). Długość tego promienia to moduł liczby z.

 

 

Zaznaczanie zbiorów na płaszczyźnie zespolonej:

Na płaszczyźnie zespolonej możemy także zaznaczać zbiory liczb zespolonych spełniających pewne warunki.

  • Z_1=\{z \in \mathbb{C}: |z|=1 \}

Mamy zaznaczyć zbiór tych liczb zespolonych, których moduł jest równy 1, oznacza to, że długość promienia wodzącego tych liczb jest równy 1. Będzie to zatem okrąg o promieniu równym 1 i środku w początku układu:

 

  •  Z_2=\{z \in \mathbb{C}: |z| \leq 1\}

Teraz sytuacja jest troszkę inna, gdyż promień wodzący liczby z może mieć długość co najwyżej 1. Zatem geometrycznie będzie to koło o promieniu 1 i środku w początku układu:

 

  •  Z_3=\{z \in \mathbb{C}: |z-5| \geq 4 \}

W poprzednich przykładach rozważaliśmy moduł liczby z, teraz najpierw musimy określić co to jest |z-5|. Ponieważ od liczby z odejmujemy 5, to środek względem, którego będziemy określać długość promienia wodzącego, musimy przesunąć o 5 miejsc w prawo. Następnie, zaznaczamy ten obszar, gdzie długość promienia wodzącego od środka ( w tym wypadku środek to (5,0)) jest większy od 4 :

 

 

  •  Z_4=\{z \in \mathbb{C}:  |z-4+6i| < 2 \}

Tutaj środek względem którego będziemy wyznaczać promień wodzący został przesunięty ze względu na dwie współrzędne. Środek znajduje się w punkcie, który odpowiada liczbie z_0. Tą liczbę wyznaczamy tak:

z-z_0=z-4+6i=z-(4-6i)

Zatem:

z_0=4-6i

Liczba z_0 jest środkiem. Zaznaczamy tą liczbę na płaszczyźnie zespolonej. Odległość od tej liczby ma być mniejsza od 2. Ponieważ  mamy nierówność silną, to brzeg rysujemy przerywaną linią.

 

  • Z_5=\{z \in \mathbb{C}: 1\leq |z-2| \leq 3\}

A teraz kolejny zbiór:

 


Zadanie 1

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór A=\{z \in \matbb{C}: 1<|z-2+i|<2\}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór A=\{z \in \matbb{C}: 2\leq |z+1-2i| \leq 4\}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór A=\{z \in \matbb{C}:|z+1|>3\}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór A=\{z \in \matbb{C}:|z-4+3i|=1\}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór A=\{z \in \matbb{C}: Re(z)=Im(z)\}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór A=\{z \in \matbb{C}: Re(z) \leq Im(z), |z|<2\}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór A=\{z \in \matbb{C}: |z+i| \neq |z+1-5i|\}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór A=\{z \in \matbb{C}: |z-2i|=|z-3-i|\}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór A=\{z \in \matbb{C}: |z-2+i|=|z+4-6i|\}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór A=\{z \in \matbb{C}: \cfrac{z+\overline{z}}{2} \geq Im(z), |z|>1\}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiory

a) A\cup B

b) A\cap B

c) A\backslash B

gdzie A=\{z \in \matbb{C}: |z-2i|>1\} i B=\{z \in \matbb{C}: Im(z)>-Re(z-2)\}.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

2 komentarze

  1. Default avatar
    droga4 14.10.2011 09:42

    w przykładach po własnościach modułu jest błąd ponieważ moduł z 6-9i nie równa się 10

  2. Default avatar
    konto-usuniete 17.10.2011 20:34

    Błąd został poprawiony.

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz