Liczba zespolona - podstawowe pojęcia.
Liczby zespolone uzupełniają zbiór liczb rzeczywistych. W zbiorze liczb rzeczywistych pewne równania jak np. nie miały rozwiązania. W zbiorze liczb zespolonych takie równanie ma aż dwa rozwiązania. Liczby zespolone to nic innego jak pewne uporządkowane pary liczb rzeczywistych, dla których zostały określone działania.
Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych , gdzie
.
Zbiór liczb zespolonych oznaczamy .
Ważne:
Dzięki powyższemu oznaczeniu możemy wprowadzić postać kanoniczą liczby zespolonej.
Liczbę zespoloną można zapisać w postaci kanonicznej
,
gdzie
to jej część rzeczywista, natomiast
to część urojona.
Liczbą sprzężoną do liczby nazywamy liczbę postaci:
Własności sprzężenia:
Działania na liczbach zespolonych:
Dane mamy dwie liczby zespolone:
Działania na liczbach zespolonych wykonujemy tak jak na liczbach rzeczywistych, pamiętając tylko o tym, że .
- dodawanie
- odejmowanie
- mnożenie
- dzielenie
a) dodawanie
b) odejmowanie
c) mnożenie
d) dzielenie
Modułem liczby zespolonej , nazywamy pierwiastek sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej tej liczby.
.
Własności modułu
.
,
Interpretacja geometryczna liczb zespolonych.
Liczby zespolone zdefiniowaliśmy jako uporządkowane pary liczb rzeczywistych, zatem każdej liczbie zespolonej odpowiada dokładnie jeden punkt na płaszczyźnie kartezjańskiej i odwrotnie. Każdemu punktowi takiej płaszczyzny odpowiada dokładnie jedna liczba zespolona. Zatem płaszczyznę możemy traktować jako zbiór wszystkich liczb zespolonych, czyli płaszczyznę zespoloną
.
Poniżej kilka liczb zespolonych zaznaczonych na płaszczyźnie zespolonej.
Popatrzmy jeszcze raz na liczbę zaznaczoną na płaszczyźnie
. Zielony odcinek to promień wodzący liczby
. Długość tego promienia to moduł liczby
.
Zaznaczanie zbiorów na płaszczyźnie zespolonej:
Na płaszczyźnie zespolonej możemy także zaznaczać zbiory liczb zespolonych spełniających pewne warunki.
Mamy zaznaczyć zbiór tych liczb zespolonych, których moduł jest równy , oznacza to, że długość promienia wodzącego tych liczb jest równy
. Będzie to zatem okrąg o promieniu równym
i środku w początku układu:
Teraz sytuacja jest troszkę inna, gdyż promień wodzący liczby może mieć długość co najwyżej
. Zatem geometrycznie będzie to koło o promieniu
i środku w początku układu:
W poprzednich przykładach rozważaliśmy moduł liczby , teraz najpierw musimy określić co to jest
. Ponieważ od liczby
odejmujemy
, to środek względem, którego będziemy określać długość promienia wodzącego, musimy przesunąć o
miejsc w prawo. Następnie, zaznaczamy ten obszar, gdzie długość promienia wodzącego od środka ( w tym wypadku środek to
) jest większy od
:
Tutaj środek względem którego będziemy wyznaczać promień wodzący został przesunięty ze względu na dwie współrzędne. Środek znajduje się w punkcie, który odpowiada liczbie . Tą liczbę wyznaczamy tak:
Zatem:
Liczba jest środkiem. Zaznaczamy tą liczbę na płaszczyźnie zespolonej. Odległość od tej liczby ma być mniejsza od
. Ponieważ mamy nierówność silną, to brzeg rysujemy przerywaną linią.
A teraz kolejny zbiór:
Zobacz rozwiązanieNarysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór
.
Zobacz rozwiązanieNarysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór
.
Zobacz rozwiązanieNarysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór
.
Zobacz rozwiązanieNarysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór
.
Zobacz rozwiązanieNarysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór
.
Zobacz rozwiązanieNarysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór
.
Zobacz rozwiązanieNarysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór
.
Zobacz rozwiązanieNarysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór
.
Zobacz rozwiązanieNarysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór
.
Zobacz rozwiązanieNarysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór
.
Zobacz rozwiązanieNarysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiory
a)
b)
c)
gdzie
i
.
Przeczytaj także:
w przykładach po własnościach modułu jest błąd ponieważ moduł z 6-9i nie równa się 10
Błąd został poprawiony.