Postać trygonometryczna liczby zespolonej.

Spójrzmy jeszcze raz na przedstawienie liczby zespolonej na płaszczyźnie:

Mamy na płaszczyźnie zaznaczoną liczbę zespoloną

z=a+bi.

Na tej płaszczyźnie został też zaznaczony kąt \alpha. Obliczmy sinus i cosinus tego kąta:

\sin\alpha=\cfrac{b}{|z|}

\cos\alpha=\cfrac{a}{|z|}

Zatem:

b=|z|\sin\alpha

a=|z|\cos\alpha.

W tej sytuacji, możemy liczbę zespoloną z przedstawić w innej postaci:

z=|z|\cos\alpha+i |z|\sin\alpha=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)

 

Definicja: Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Postacią trygonometryczną liczby zespolonej z=a+bi nazywamy:

z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)

 

Definicja: Argument liczby zespolonej

Argumentem liczby zespolonej z=a+bi, nazywamy każdą liczbę rzeczywistą \alpha taką, że:

\sin\alpha=\cfrac{b}{|z|},

\cos\alpha=\cfrac{a}{|z|}.

Najprościej rzecz ujmując jest to miara kąta \alpha z wcześniejszej definicji wyrażona w radianach. Ponieważ sinus i cosinus są to funkcje okresowe, to argumentem jest także każda liczba \alpha+2k\pi, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Argument liczby z oznaczamy symbolem arg\ z. Zbiór wszystkich argumentów liczby z to:

Arg\ z=\{arg\ z+2k\pi: k\in \mathbb{Z} \}

Definicja: Argument główny

Argumentem głównym liczby zespolonej z=a+bi nazywamy ten argument, który należy do przedziału (-\pi,\pi].

Przykład 1

Dana jest liczba zespolona z=\cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}i. Zamień postać kanoniczną tej liczby na trygonometryczną i wyznacz jej argument główny.

z=\cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}i

Musimy wyznaczyć liczbę \alpha. W tym celu skorzystamy z równań:

\sin\alpha=\cfrac{b}{|z|},

\cos\alpha=\cfrac{a}{|z|}.

 Z danej postaci kanonicznej liczby z odczytujemy, że:

a=\cfrac{1}{2}

b=\cfrac{\sqrt{3}}{2}

Obliczamy moduł tej liczby:

|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\cfrac{1}{2})^2+(\cfrac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{\cfrac{1}{4}+\cfrac{3}{4}}=\sqrt{1}=1

Czyli:

\sin\alpha=\cfrac{\cfrac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\cfrac{\sqrt{3}}{2},

\cos\alpha=\cfrac{\cfrac{1}{2}}{1}=\cfrac{1}{2}.

Zatem szukamy takiego \alpha, aby:

\sin\alpha=\cfrac{\sqrt{3}}{2},

\cos\alpha=\cfrac{1}{2}.

Czyli

\alpha=\cfrac{\pi}{3}

Zapisujemy liczbę z w postaci trygonometrycznej:

z=1* ( \cos\cfrac{\pi}{3} + i \sin \cfrac{\pi}{3})

Ponieważ \alpha=\cfrac{\pi}{3} \in (-\pi,\pi], to jest to argument główny liczby z.

Własności argumentów liczb zespolonych

Jeżeli z i w są dowolnymi liczbami zespolonymi, to prawdziwe są następujące zależności:

  • Arg(z* w)=Arg\ z +Arg\ w
  • Arg \left( \cfrac{z}{w} \right)=Arg\ z-Arg\ w, gdzie w \neq 0.

 

Działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej.

Na liczbach zespolonych przedstawionych w postaci trygonometrycznej bardzo łatwo wykonuje się takie działania jak mnożenie i dzielenie liczb. Warto zapamiętać poniższe wzory. Zakładamy, że

z,\ w \in \mathbb{C},\ w\neq 0 oraz:

z=|z|(\cos\alpha_1+i\sin\alpha_2)

w=|w|(\cos\alpha_2+i\sin\alpha_2)

Wtedy:

 z* w=|z|* |w| (\cos(\alpha_1+\alpha_2)+i\sin(\alpha_1+\alpha_2))

 \cfrac{z}{w}=\cfrac{|z|}{|w|} \left(\cos(\alpha_1-\alpha_2)+i\sin(\alpha_1-\alpha_2) \right)

Przykład 2

Dane są dwie liczby zespolone:

z=2(\cos\cfrac{\pi}{6}+i\sin\cfrac{\pi}{6})

w=5(\cos\cfrac{\pi}{4}+i\sin\cfrac{\pi}{4})

Obliczmy ich iloczyn i iloraz:

 z* w=2* 5 (\cos(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi}{4})+i\sin(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi}{4}))=

 =10(\cos(\cfrac{5\pi}{12})+i\sin(\cfrac{5\pi}{12}))

 

 \cfrac{z}{w}=\cfrac{2}{5} \left(\cos(\cfrac{\pi}{6}-\cfrac{\pi}{4})+i\sin(\cfrac{\pi}{6}-\cfrac{\pi}{4}) \right)=

=\cfrac{2}{5} \left(\cos(\cfrac{\pi}{12})-i\sin(\cfrac{\pi}{12}) \right)

 

Wzór: de Moivre'a

Prawdziwy jest następujący wzór:

(\cos\alpha+i\sin\alpha)^n=\cos n\alpha+i\sin n\alpha

Korzystając z powyższego wzoru de Moivre'a możemy łatwo zdefiniować także potęgowanie liczb zespolonych. A dokładniej:

 

Potęgowanie liczb zespolonych:

Wzór: Potęga liczby zespolonej

z^n=|z|^n(\cos n\alpha+i\sin n\alpha)

Przykład 3

Dana jest liczba z=4(\cos\cfrac{\pi}{5} +i\sin \cfrac{\pi}{5}). Obliczymy z^2 i z^3:

z^2=4^2(\cos\cfrac{2\pi}{5} +i\sin \cfrac{2\pi}{5})=16(\cos\cfrac{2\pi}{5} +i\sin \cfrac{2\pi}{5})

z^3=4^3(\cos\cfrac{3\pi}{5} +i\sin \cfrac{3\pi}{5})=64(\cos\cfrac{3\pi}{5} +i\sin \cfrac{3\pi}{5})

Oceń poprawność zdań:

Pierwiastkowanie liczb zespolonych.

 

UWAGA!

Jeżeli pierwiastkujemy liczbę zespoloną to mamy tyle wyników tego działania, ile wynosi stopień liczonego pierwiastka.

Czyli, jeżeli liczymy np. pierwiastek trzeciego stopnia, to otrzymamy trzy wyniki, jeżeli liczymy pierwiastek piątego stopnia, to otrzymamy pięć wyników itd.

To teraz możemy przejść do tego, w jaki sposób obliczamy te pierwiastki.

Dana jest liczba

z=|z| ( \cos \alpha + i \sin \alpha) .

Pierwiastek n-tego stopnia z liczby z, to zbiór:

 \sqrt[n]{z}=\{z_0,z_1,...,z_{n-1}\}

gdzie

z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos \cfrac{\alpha +2k\pi}{n}+i \sin \cfrac{\alpha +2k\pi}{n} \right)

k \in \{0,1,...,n-1\}

Przykład 5

Oblicz pierwiastek 4 -tego stopnia z liczby 1.

 

Zaczynamy od tego, aby jedynkę zapisać w postaci trygonometrycznej:

z=|z|(\cos\alpha +i \sin\alpha )

z=1

|z|=1.

Otrzymujemy, że:

1= \cos\alpha +i \sin\alpha

Czyli:

\cos \alpha=1

\sin \alpha=0

 

\alpha=0

Obliczamy czwarty pierwiastek dlatego:

 n=4

k\in \{0,1,2,3\}

Obliczamy kolejne pierwiastki:

  • z_0=\sqrt[4]{|1|}\left(\cos \cfrac{0+2* 0 * \pi}{4}+i \sin \cfrac{0 +2* 0 * \pi}{4} \right)=  1 \left(\cos 0 +i \sin 0  \right)= 1
  • z_1=\sqrt[4]{|1|}\left(\cos \cfrac{0 +2* 1 * \pi}{4}+i \sin \cfrac{0+2* 1 *  \pi}{4} \right)= 1 \left(\cos \cfrac{\pi}{2} +i \sin \cfrac{\pi}{2}  \right)= 1( 0 +i * 1)=i
  • z_2=\sqrt[4]{|1|}\left(\cos \cfrac{0 +2* 2 * \pi}{4}+i \sin \cfrac{0+2* 2 *  \pi}{4} \right)= 1 \left(\cos \pi +i \sin \pi \right)= 1( -1 +i * 0)=-1
  • z_3=\sqrt[4]{|1|}\left(\cos \cfrac{0 +2* 3 * \pi}{4}+i \sin \cfrac{0+2* 3 *  \pi}{4} \right)= 1 \left(\cos \cfrac{3}{2}\pi +i \sin \cfrac{3}{2}\pi \right)= 1( 0 +i * -1)=-i

 Obliczyliśmy wszystkie pierwiastki:

\sqrt[4]{1}=\{1,i,-1,-i\}

Interpretacja geometryczna pierwiastków liczb zespolonych.

Zaznaczmy teraz te wszystkie wyznaczone pierwiastki na płaszczyźnie zespolonej:

 

Jeżeli połączymy ze sobą wszystkie obliczone pierwiastki, to tworzą one wielokąt foremny. W powyższym przykładzie jest to kwadrat i są one rozmieszczone na okręgu o środku w początku układu. Wynika to z faktu, że moduł każdego pierwiastka liczby zespolonej jest taki sam, a argumenty kolejnych pierwiastków różnią się o \cfrac{2\pi}{n}, gdzie n jest stopniem pierwiastka jaki obliczamy.

Możemy zatem w prostszy sposób obliczać pierwiastki liczb zespolonych. Wystarczy tak naprawdę obliczyć tylko jeden z pierwiastków, a pozostałe wyznaczyć z interpretacji geometrycznej. Rysujemy okrąg, którego promień jest równy modułowi obliczonego pierwiastka, a następnie dzielimy go na n równych części, tak aby wyznaczony pierwiastek stanowił punkt podziału. Resztę odczytujemy z rysunku.

Spójrzmy na inne przypadki:

  • \sqrt[3]{1}=\{1,-\cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}i,-\cfrac{1}{2}-\cfrac{\sqrt{3}}{2}i\}

z_1=1

z_2=-\cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}i

z_3=-\cfrac{1}{2}-\cfrac{\sqrt{3}}{2}i

 

  •  \sqrt[4]{-16}=\{\sqrt{2}+\sqrt{2}i, -\sqrt{2}+\sqrt{2}i, \sqrt{2}-\sqrt{2}i, -\sqrt{2}-\sqrt{2}i \}

 

z_1=\sqrt{2}+\sqrt{2}i

z_2=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i

z_3=-\sqrt{2}-\sqrt{2}i

z_4=\sqrt{2}-\sqrt{2}i

Postać wykładnicza liczby zespolonej.

Definicja: Postać wykładnicza liczby zespolonej

Postać wykładniczą liczby zespolonej z=|z| ( \cos\alpha+ i\sin\alpha) nazywamy:

z=|z|e^{i\alpha}

gdzie:

e^{i\alpha}= \cos\alpha+ i\sin\alpha.

 

Prawdziwe są następujące własności:

  • e^{i\alpha} * e^{i\beta}= e^{i(\alpha +\beta)}
  • e^{i\alpha} :e^{i\beta}= e^{i(\alpha -\beta)}
  • (e^{i\alpha})^k = e^{ik\alpha}
  • |e^{i\alpha}| = 1

 

 Wzory Eulera:

  • \cos\alpha=\cfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}
  • \sin\alpha=\cfrac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}

Zadanie 1

Oblicz (1+2i)^5.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Przedstaw w postaci wykładniczej liczby zespolone:

a) 1+i,

b) -i,

c) \sqrt{3}-1,

d) 2i.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Oblicz (\sqrt{3}+i)^{\frac{1}{4}}.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz