Wzory i własności w rachunku prawdopodobieństwa

Załóżmy, że \Omega jest przestrzenią zdarzeń elementarnych i A, B \subset \Omega. Wówczas:

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego (np. wyrzucenie 7 w rzucie tradycyjną kostką) jest równe 0.

P(\phi)=0

Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1.

P(\Omega)=1

Prawdopodobieństwo przyjmuje wartości z przedziału od 0 do 1.

0 \leq P(A) \leq 1


Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wynosi:

P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest mniejsze lub równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń.

P(A \cup B) \leq P(A) + P(B)

Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń wynosi:

P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)

Prawdopodobieństwo różnicy zdarzeń wynosi:

P(A \backslash B) = P(A) - P(A \cap B)

Prawdopodobieństwo podzbioru zdarzenia losowego jest mniejsze lub równe oryginalnego zdarzeniu losowemu. Np Wyrzucenie liczby 2 w rzucie kostką jest podzbiorem wyrzucenia liczby parzystej, dlatego prawdopodobieństwo wyrzucenia 2 jest mniejsze (lub równe) od wyrzucenia liczby parzystej.

Jeżeli A \subset B to P(A) \leq P(B)



Zadanie 1

Oblicz  P(B\backslash A)   wiedząc, że P(A)=\cfrac{1}{3}, natomiast P(A \cup B)=\cfrac{1}{2}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Zdarzenia A i B są rozłączne, P(A) > P(B) oraz \Omega=A \cup B. Wiedząc, że P(A) * P(B)=\cfrac{6}{25} oblicz P(A) oraz P(B).

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

O zdarzeniach A oraz B wiemy, że: P(A)=\cfrac{1}{3},  P(B)=\cfrac{1}{2},  P(A \cup B)=\cfrac{2}{3}. Oblicz:

a) P(A \cap B)

b) P(A \backslash B)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Karol grając w Dart  zdobywa co najmniej   100   punktów w  jednej grze z prawdopodobieństwem  0,8, a co najwyżej 100 punków z prawdopodobieństwem 0,3. Oblicz prawdopodobieństwo zdobycia dokładnie 100 punktów.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Kule znajdujące się w urnie są ponumerowane. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli o numerze większym od  8 wynosi 0,7, natomiast prawdopodobieństwo wylosowania kuli o numerze mniejszym od 11  wynosi 0,6. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli o numerze 9 lub 10.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

W dwóch pudełkach znajdują się kule. W pierwszym pudełku są  4 kule zielone, 2 czerwone oraz 10 białych. W drugim pudełku natomiast są 3 kule zielone, 5 kul czerwonych oraz 7 kul białych. Z każdego pudełka losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Dany jest zbiór \{1,3,5,8,9,12,18\}. Zdarzenie A polega na wylosowaniu z tego zbioru liczby podzielnej przez 3, natomiast zdarzenie B polega na wylosowaniu liczby większej od  8 . Oblicz:

a) P(A) oraz P(B)

b) P(A \cap B)

c) P(A \backslash B)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Dane są dwa zbiory liczb: X=\{-3,-1,0,4,6,12\}, Y=\{-3,-2,0,1,9,14\}. Z każdego zbioru losujemy po jednej liczbie. Zdarzenie A polega na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą ujemną, zdarzenie B polega na wylosowaniu liczb nieparzystych. Oblicz:

a) P(A),\ P(B)

b)  P(A \cap B)

c)  P(A \cup B)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Jeżeli P(A)=\cfrac{1}{2} oraz P(B\backslash A)=\cfrac{1}{3} to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

O zdarzeniach A oraz B wiadomo, że: A \subset B, P(A)=0,3, P(B)=0,5. Wtedy:

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz