Wzory i własności prawdopodobieństwa

Drukuj

Wzory i własności w rachunku prawdopodobieństwa

Załóżmy, że $\Omega$ jest przestrzenią zdarzeń elementarnych i $A, B \subset \Omega$ . Wówczas:

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego (np. wyrzucenie 7 w rzucie tradycyjną kostką) jest równe 0.

$P(\phi)=0$

Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1.

$P(\Omega)=1$

Prawdopodobieństwo przyjmuje wartości z przedziału od 0 do 1.

$0 \leq P(A) \leq 1$

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wynosi:

$P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest mniejsze lub równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń.

$P(A \cup B) \leq P(A) + P(B)$

Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń wynosi:

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

Prawdopodobieństwo różnicy zdarzeń wynosi:

$P(A \backslash B) = P(A) - P(A \cap B)$

Prawdopodobieństwo podzbioru zdarzenia losowego jest mniejsze lub równe oryginalnego zdarzeniu losowemu. Np Wyrzucenie liczby 2 w rzucie kostką jest podzbiorem wyrzucenia liczby parzystej, dlatego prawdopodobieństwo wyrzucenia 2 jest mniejsze (lub równe) od wyrzucenia liczby parzystej.

Jeżeli $A \subset B$ to $P(A) \leq P(B)$

Zadanie 1

O zdarzeniach $A$ oraz $B$ wiemy, że: $P(A)=\cfrac{1}{3}$ , $P(B)=\cfrac{1}{2}$ , $P(A \cup B)=\cfrac{2}{3}$ . Oblicz:

a) $P(A \cap B)$

b) $P(A \backslash B)$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 2

Dany jest zbiór $\{1,3,5,8,9,12,18\}$ . Zdarzenie $A$ polega na wylosowaniu z tego zbioru liczby podzielnej przez $3$ , natomiast zdarzenie $B$ polega na wylosowaniu liczby większej od $8$ . Oblicz:

a) $P(A)$ oraz $P(B)$

b) $P(A \cap B)$

c) $P(A \backslash B)$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 3

Dane są dwa zbiory liczb: $X=\{-3,-1,0,4,6,12\}$ , $Y=\{-3,-2,0,1,9,14\}$ . Z każdego zbioru losujemy po jednej liczbie. Zdarzenie $A$ polega na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą ujemną, zdarzenie $B$ polega na wylosowaniu liczb nieparzystych. Oblicz:

a) $P(A),\ P(B)$

b) $P(A \cap B)$

c) $P(A \cup B)$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 4

Jeżeli $P(A)=\cfrac{1}{2}$ oraz $P(B\backslash A)=\cfrac{1}{3}$ to:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 5

O zdarzeniach $A$ oraz $B$ wiadomo, że: $A \subset B$ , $P(A)=0,3$ , $P(B)=0,5$ . Wtedy:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 6
Premium

Oblicz $P(B\backslash A)$ wiedząc, że $P(A)=\cfrac{1}{3}$ , natomiast $P(A \cup B)=\cfrac{1}{2}$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 7
Premium

Zdarzenia $A$ i $B$ są rozłączne, $P(A) > P(B)$ oraz $\Omega=A \cup B$ . Wiedząc, że $P(A) * P(B)=\cfrac{6}{25}$ oblicz $P(A)$ oraz $P(B)$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 8
Premium

Karol grając w Dart zdobywa co najmniej $100$ punktów w jednej grze z prawdopodobieństwem $0,8$ , a co najwyżej $100$ punków z prawdopodobieństwem $0,3$ . Oblicz prawdopodobieństwo zdobycia dokładnie $100$ punktów.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 9
Premium

Kule znajdujące się w urnie są ponumerowane. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli o numerze większym od $8$ wynosi $0,7$ , natomiast prawdopodobieństwo wylosowania kuli o numerze mniejszym od $11$ wynosi $0,6$ . Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli o numerze $9$ lub $10$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 10
Premium

W dwóch pudełkach znajdują się kule. W pierwszym pudełku są $4$ kule zielone, $2$ czerwone oraz $10$ białych. W drugim pudełku natomiast są $3$ kule zielone, $5$ kul czerwonych oraz $7$ kul białych. Z każdego pudełka losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.