Prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo to szansa zajścia konkretnego zdarzenia podzielona przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. W pełni formalnie możemy to zapisać tak:
Jeżeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych , jednakowo prawdopodobnych i , to liczbę:
nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia .
Gdzie:
- moc zbioru (ilość elementów zbioru )
- moc zbioru (ilość elementów zbioru )
Innymi słowy prawdopodobieństwo określa liczbowo szansę wystąpienia danego zdarzenia podczas eksperymentu (losowania).
W rzucie kostką oblicz prawdopodobieństwo wylosowania szóstki.
Zdarzeniem elementarnym jest wylosowanie określonej ilości oczek na kostce. Przestrzeń zdarzeń elementarnych to wszystkie możliwe wartości jakie mogą wypaść w trakcie rzutu kostką czyli:
- moc zbioru wynosi , ponieważ tyle jest elementów tego zbioru.
- to zdarzenie polegające na wylosowaniu ze zbioru szóstki.
- moc zbioru wynosi , ponieważ jest jedna szóstka w zbiorze
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia
Prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki w rzucie kostką wynosi .
Mamy kule bilardowe ponumerowae od 3 do 8. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli z liczbą parzystą.
Przestrzenią jest więc zbiór liczba
- moc zbioru wynosi , ponieważ tyle jest elementów tego zbioru.
- zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli z z liczbą parzystą to wylosowanie kuli z numerem 4, 6 lub 8 czyli nasz zbiór A to
- moc zbioru wynosi , ponieważ tyle jest liczb parzystych w zbiorze
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli z liczbą parzystą wynosi .
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
Niech będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych.
Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję, która każdemu zdarzeniu () przyporządkowuje liczbę , spełniającą następujące warunki (aksjomaty):
- A1.
prawdopodobieństwo jest liczbą nieujemną - A2.
prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe - A3. Jeżeli , to
prawdopodobieństwo sumy wykluczających się zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń
Innymi słowy prawdopodobieństwo określa liczbowo szansę wystąpienia danego zdarzenia podczas eksperymentu (losowania).
Podsumowanie
Obie definicje prawdopodobieństwa są sobie równoważne. W praktyce częściej korzysta się z klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Na maturze tylko ona obowiązuje.Zobacz rozwiązanieDany jest zbiór . Prawdopodobieństwo wylosowania ze zbioru liczby parzystej wynosi:
Zobacz rozwiązanieW urnie znajduje się kul białych, czarne oraz kul zielonych. Prawdopodobieństwo wylosowania z urny kuli zielonej wynosi:
Zobacz rozwiązanieW urnie znajduje się kul białych, czarne oraz kul zielonych. Prawdopodobieństwo wylosowania z urny kuli zielonej wynosi:
Zobacz rozwiązanieRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, której ściany są ponumerowane liczbami: . Oblicz prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie otrzymamy liczbę pierwszą, a w drugim liczbę parzystą.
Zobacz rozwiązanieZe zbioru liczb naturalnych dodatnich mniejszych od wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to liczba podzielna przez .
Zobacz rozwiązanieRzucamy dwa razy sześcienną, symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek będzie liczbą nie mniejszą niż .
Zobacz rozwiązanieZe zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to liczba podzielna przez .
Zobacz rozwiązanieZe zbioru losujemy trzy liczby. Każda z tych liczb oznacza długość odcinka. Oblicz prawdopodobieństwo, że z odcinków o takiej długości da się zbudować trójkąt.
Zobacz rozwiązanieZe zbioru losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez .
Zobacz rozwiązanieW pudełku jest kul. Wśród nich jest kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe
Zobacz rozwiązanieZe zbioru liczb losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
Zobacz rozwiązanieDany jest zbiór liter . Losujemy z tego zbioru liter. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowanych liter z tego zbioru, w kolejności losowania utworzy wyraz .
Zobacz rozwiązanieW dwóch pudełkach znajdują się kule ponumerowane od do . Z każdego z tych pudełek losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn numerów wylosowanych kul jest liczbą nie większą niż .
Zobacz rozwiązanieW dwóch pudełkach znajdują się kule ponumerowane od do . Z każdego z tych pudełek losujemy losowo po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma numerów wylosowanych kul jest liczbą parzystą,
Zobacz rozwiązanieDane jest równanie . Ze zbioru wybieramy kolejno, bez zwracania dwie liczby. Pierwsza z nich to współczynnik w równaniu, natomiast druga to współczynnik . Oblicz prawdopodobieństwo, że równanie nie będzie miało rozwiązania.
Zobacz rozwiązanieDane są punkty . Spośród tych punktów wybieramy losowo dwa. Oblicz prawdopodobieństwo, że prosta poprowadzona przez te dwa punkty będzie:
a) rosnąca
b) malejąca
Zobacz rozwiązanieRzucamy trzy razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że w każdym rzucie, liczba oczek będzie większa od wyrazu ciągu arytmetycznego , o numerze odpowiadającym numerowi rzutu. Ciąg dany jest wzorem: . Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych.
Zobacz rozwiązanieZe zbioru losujemy jedną liczbę. Ile jest sposobów wylosowania liczby:
a) większej od mediany liczb ze zbioru
b) liczby większej od średniej arytmetycznej liczb ze zbioru
c) wylosowania liczby parzystej
Jakie są prawdopodobieństwa tych zdarzeń?
Zobacz rozwiązanieO zdarzeniach i wiadomo, że , oraz . Wskaż prawidłową odpowiedź:
Przeczytaj także:
COMMENT_CONTENT