Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo to szansa zajścia konkretnego zdarzenia podzielona przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. W pełni formalnie możemy to zapisać tak:

Definicja: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Jeżeli \Omega jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych \omega, jednakowo prawdopodobnych i A  \subset \Omega, to liczbę:

P(A)=\cfrac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}

nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.

Gdzie:

\overline{\overline{A}} - moc zbioru A (ilość elementów zbioru A)

\overline{\overline{\Omega}} - moc zbioru \Omega (ilość elementów zbioru \Omega)

Innymi słowy prawdopodobieństwo określa liczbowo szansę wystąpienia danego zdarzenia podczas eksperymentu (losowania).

 

Przykład 1

W rzucie kostką oblicz prawdopodobieństwo wylosowania szóstki.

Zdarzeniem elementarnym \omega jest wylosowanie określonej ilości oczek na kostce. Przestrzeń zdarzeń elementarnych to wszystkie możliwe wartości jakie mogą wypaść w trakcie rzutu kostką czyli:

\Omega=\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}

\overline{\overline{\Omega}}=6 - moc zbioru \Omega wynosi 6, ponieważ tyle jest elementów tego zbioru.

A - to zdarzenie polegające na wylosowaniu ze zbioru \Omega szóstki.

A = \{ 6 \}

\overline{\overline{A}}=1 - moc zbioru A wynosi 1, ponieważ jest jedna szóstka w zbiorze \Omega

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A

P(A)=\cfrac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\cfrac{1}{6}

Prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki w rzucie kostką wynosi \cfrac{1}{6}.

 

Przykład 2

Mamy kule bilardowe ponumerowae od 3 do 8. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli z liczbą parzystą.

 Przestrzenią jest więc zbiór liczba

\Omega=\{3,4,5,6,7,8\}

\overline{\overline{\Omega}}=6 - moc zbioru \Omega wynosi 6, ponieważ tyle jest elementów tego zbioru.

A - zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli z  \Omega z liczbą parzystą to wylosowanie kuli z numerem 4, 6 lub 8 czyli nasz zbiór A to

A = \{ 4, 6, 8 \}

\overline{\overline{A}}=3 - moc zbioru A wynosi 3, ponieważ tyle jest liczb parzystych w zbiorze \Omega

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A

P(A)=\cfrac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{2}

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli z liczbą parzystą wynosi \cfrac{1}{2}.

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa.

Definicja: Aksjomatyczna Definicja prawdopodobieństwa.

Niech \Omega będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych.
Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję, która każdemu zdarzeniu A (A \subset \Omega) przyporządkowuje liczbę P(A), spełniającą następujące warunki (aksjomaty):

  • A1. P(A)\geq0
    prawdopodobieństwo jest liczbą nieujemną
  • A2. P(\Omega) = 1
    prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe  1
  • A3. Jeżeli A \cap B = \phi, to P(A\cup B)=P(A)+P(B)
    prawdopodobieństwo sumy wykluczających się zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń

Innymi słowy prawdopodobieństwo określa liczbowo szansę wystąpienia danego zdarzenia podczas eksperymentu (losowania).

Podsumowanie

Obie definicje prawdopodobieństwa są sobie równoważne. W praktyce częściej korzysta się z klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Na maturze tylko ona obowiązuje. 

Zadanie 1

W urnie znajduje się 6 kul białych,  3   czarne oraz  5 kul zielonych. Prawdopodobieństwo wylosowania z urny kuli zielonej wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, której ściany są ponumerowane liczbami: 2,\ 3,\ 5,\ 13,\ 16,\ 20. Oblicz prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie otrzymamy liczbę pierwszą, a w drugim liczbę parzystą.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Ze zbioru liczb naturalnych mniejszych od 50 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to liczba podzielna przez 3.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

W dwóch pudełkach znajdują się kule ponumerowane od 1 do  30 . Z każdego z tych pudełek losujemy losowo po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma numerów wylosowanych kul jest liczbą parzystą,

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

W dwóch pudełkach znajdują się kule ponumerowane od 1 do 10. Z każdego z tych pudełek losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn numerów wylosowanych kul jest liczbą nie większą niż  8 .

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Rzucamy dwa razy sześcienną, symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek będzie liczbą nie mniejszą niż 20.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to liczba podzielna przez  8 .

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Ze zbioru A=\{2,4,5,7,12\} losujemy  trzy liczby. Każda z tych liczb oznacza długość odcinka. Oblicz prawdopodobieństwo, że z odcinków o takiej długości da się zbudować trójkąt.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Dane jest równanie ax^2+bx+1=0. Ze zbioru A=\{2,5,7\} wybieramy kolejno, bez zwracania dwie liczby. Pierwsza z nich to współczynnik a w równaniu, natomiast druga to współczynnik b. Oblicz prawdopodobieństwo, że równanie nie będzie miało rozwiązania.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Dane są punkty A=(1,1),\ \ B=(1,5),\ \ C=(-3,4),\ \ D=(-2,-3),\ \ E=(2,-4). Spośród tych punktów wybieramy losowo dwa. Oblicz prawdopodobieństwo, że prosta poprowadzona przez te dwa punkty będzie:

a) rosnąca

b) malejąca

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Rzucamy trzy razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że w każdym rzucie, liczba oczek będzie większa od wyrazu ciągu arytmetycznego (a_n), n \in \mathbb{N}, o numerze odpowiadającym numerowi rzutu. Ciąg dany jest wzorem: a_n=2n-1. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Ze zbioru A=\{1,2,3,...,100\} losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez  4 .

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Ze zbioru A=\{3,5,6,8,12,13,17,22\} losujemy jedną liczbę. Ile jest sposobów wylosowania liczby:

a) większej od mediany liczb ze zbioru A

b) liczby większej od średniej arytmetycznej liczb ze zbioru A

c) wylosowania liczby parzystej

Jakie są prawdopodobieństwa tych zdarzeń?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Dany jest zbiór liter \{M,K,O,A,T,L,G,R,E\}. Losujemy z tego zbioru 5 liter. Oblicz prawdopodobieństwo, że 5 wylosowanych liter z tego zbioru, w kolejności losowania utworzy wyraz AKTOR.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

O zdarzeniach A i B wiadomo, że P(A)=P(A'), P(B)=0,3 oraz P(A \cup B)=0,7. Wskaż prawidłową odpowiedź:

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz