Procent składany.

Załóżmy, że mamy 1000zł. Zakładamy lokatę na 2 lata, oprocentowaną 5\% w skali roku. Czy wiesz w jaki sposób liczone są odsetki od włożonego kapitału? Wygląda to tak:

  • 1 rok:

Na koniec pierwszego roku, otrzymujemy odsetki od zgromadzonego kapitału. Jest to 5\% od włożonej wartości pieniężnej. Czyli na koniec pierwszego roku na koncie bankowym będziemy mieć nasz włożony 1000zl na lokatę plus odsetki od tego kapitału:

1000zl + 5\% * 1000 zl=1000zl+0,05 * 1000zl=1000zl+50zl =1050zl

  • 2 rok:

Na koniec drugiego roku, odsetki są liczone od całości kwoty, jaką mieliśmy na początku tego roku. A na początku roku na koncie mieliśmy włożony 1000zl i odsetki po pierwszym roku, czyli 1050zl. Zatem, kwota jaką będziemy mieć na koniec drugiego roku, to:

1050zl + 5\% * 1050 zl=1050zl+0,05 * 1050zl=1050zl+52,5zl=1102,5zl

 

Definicja: Procent składany.

Procent składany to oprocentowanie wkładu pieniężnego, polegające na tym,  że odsetki od wkładu są również kapitalizowane.

 

Procent składany  wykorzystywany jest  do np. obliczania wartości lokat po zadanej liczbie okresów kapitalizacji odsetek.

 

Kapitalizacja odsetek nie koniecznie musi być raz w roku. Może to być raz na kwartał, raz w miesiącu czy nawet codziennie. W zależności od tego różnie oblicza się wartość kapitału  po upływie pewnego czasu. Korzystamy wtedy z poniższego wzoru.

 

Wzór: Wartość kapitału (procent składany)

K=K_0 \left(1+\cfrac{r}{m}\right)^{n * m}

gdzie

K_0 - wartość wkładu pieniężnego

n - liczba lat

m - liczba okresów kapitalizacji w ciągu roku

r -  roczna stopa procentowa ( w postaci dziesiętnej )

 

Przykład 1.:

 Założyłeś dwuletnią lokatę, której oprocentowanie wynosi  8\% w skali roku. Jaka będzie wartość Twojego kapitału po upływie dwóch lat jeśli kwota wpłacona przez Ciebie to 2000 zł, a kapitalizacja odsetek jest roczna?

Obliczamy:

Wypiszmy najpierw wszystkie dane z zadania:

n=2 - lokata została założona na okres dwóch lat

m=1 - kapitalizacja odsetek jest raz w roku

r=8\%=0,08 - oprocentowanie w skali roku

K_0=2000 - wartość początkowa kapitału ( kwota jaką wpłaciliśmy na lokatę)

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy wartość kapitału końcowego:

K=K_0 \left(1+\cfrac{r}{m}\right)^{n * m}

 =2000* \left(1 + \cfrac{0.08}{1}\right)^{2*1}

=2000 * 1.08^2 = 2000* 1.1664 = 2332.80

 

Przykład 2.:

Na 3-letnią lokatę wpłacono 3000 zł i po jej zakończeniu kwota ta wzrosła o 240 zł. Jakie było oprocentowanie, jeżeli odsetki były kapitalizowane co kwartał?

Obliczamy:

Wypiszmy najpierw wszystkie dane z zadania:

n=3 - lokata została założona na okres trzech lat

K_0=3000 - wartość początkowa kapitału ( kwota jaką wpłaciliśmy na lokatę)

240 - o tyle wzrósł kapitał na lokacie

m=4 - kapitalizacja odsetek jest raz w ciągu kwartału, zatem w ciągu roku mamy 4 kapitalizacje

r\% -nie znamy wartości oprocentowania, to chcemy obliczyć

 

Wiemy, że kapitał wzrósł o 240 zł, zatem po zakończeniu lokaty kapitał końcowy wynosił:

K=K_0+240=3000+240=3240\ zl

Podstawiamy wszystkie dane do wzoru, i obliczamy r. Ponieważ do wzoru musimy podstawić r jako wartość liczbową a nie procentową, to podstawimy wartość:

r\%=\cfrac{r}{100}

 

K=K_0 \left(1+\cfrac{r}{m}\right)^{n * m}

3240 = 3000* \left(1 + \cfrac{\cfrac{r}{100}}{ 4} \right)^{3* 4}

1.08 = \left(1 + \cfrac{r}{400}\right)^{12}

1,006434 =1+ \cfrac{r}{400}

0,006434 =\cfrac{r}{400}

r = 2,57

Oprocentowanie wynosiło 2,57\%.


Zadanie 1

Oblicz jaką kwotę Pan Karolak wpłacił na roczną lokatę w Banku X, jeżeli po jej zakończeniu wypłacił kwotę 1510\ zl. Oprocentowanie lokaty wynosiło 7,2\% w skali rocznej, a odsetki były kapitalizowane co pół roku.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Jeżeli wpłacisz 1000zl na lokatę oprocentowaną w skali roku na 5,5\%, to jaką kwotę wypłacisz po upływie dwóch lat?

(Wynik zaokrąglij do pełnych złotówek).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Jaką kwotę należy wpłacić na lokatę oprocentowaną w skali roku na 6\%, aby po roku wypłacić 1521\ zl?

(Wynik zaokrąglij do pełnych złotówek).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Pan Kowalski postanowił założyć lokatę, wpłacając do banku 3000\ zl na okres jednego roku. Ma do wyboru trzy rodzaje lokat:

  • lokata A - oprocentowanie w skali roku 8\%, roczna kapitalizacja odsetek
  • lokata B - oprocentowanie w skali roku 5\%, kapitalizacja odsetek co pół roku
  • lokata C - oprocentowanie w skali roku 4\%, kwartalna kapitalizacja odsetek

Oceń, wykonując odpowiednie obliczenia, która z lokat jest najbardziej korzystna dla Pana Kowalskiego.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Pan Kowalski wpłacił 1300\ zl na roczną lokatę. Po upływie tego czasu wypłacił kwotę 1391\ zl. Jakie było procentowanie lokaty w skali rocznej?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Oblicz jaką kwotę Pan Nowak wpłacił na roczną lokatę w Banku X, jeżeli po jej zakończeniu wypłacił kwotę 5630\ zl. Oprocentowanie lokaty wynosiło 5,5\% w skali rocznej, a odsetki były kapitalizowane co kwartał. Wynik zaokrąglij  do pełnych złotówek.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Oblicz jaką kwotę Pan Brzęczyszczykiewicz wpłacił na roczną lokatę w Banku X, jeżeli po jej zakończeniu wypłacił kwotę 1610\ zl. Oprocentowanie lokaty wynosiło 7,2\% w skali rocznej, a odsetki były kapitalizowane co pół roku. Wynik zaokrąglij  do pełnych złotówek.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

2 komentarze

  1. Default avatar
    harcian 01.05.2012 12:46

    czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć w jaki sposób pozbyto się potęgi w przykładzie 2??

  2. D mek 20120307223004 thumb
    d_mek 07.05.2012 12:25

    Obie strony równania zostały spierwiastkowane, pierwiastkiem 12 stopnia.

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz