Wyjaśnienie wzoru herona

Gdy mamy dane długości wszystkich boków trójkąta to możemy policzyć jego pole korzystając z poniższego wzoru


P = p\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}

gdzie:

a, b, c - długości boków trójkąta
p - połowa obwodu trójkąta, czyli  p = \frac{1}{2}(a + b + c)

Gdy do powyższego wzoru podstawimy p to otrzymamy pełny wzór na pole trójkąta:

P = \frac{(a+b+c)\sqrt{(\frac{a+b+c}{2}-a)(\frac{a+b+c}{2}-b)(\frac{a+b+c}{2}-c)}}{2}

Po sprawadzeniu do wspólnych mianowników i skróceniu otrzymujemy ostatecznie wzór Herona w postaci: 

P = \frac{(a+b+c)\sqrt{(\frac{b+c - a}{2})(\frac{a+c - b}{2})(\frac{a+b - c}{2})}}{2}

Przykład 1

Oblicz pole trójkąta o bokach 4, 5 i 7 cm korzystając z wzoru Herona.

Najpierw obliczamy połowę obwodu tego trójkąta: 

 p = \frac{4 + 5 + 7}{2} = 8

Podstawiamy długości boków oraz połowę obwodu trójkąta do wzoru:

P = 8\sqrt{(8-4)(8-5)(8-7)} = 8\sqrt{4 * 3 * 1} = 8 \sqrt{12}= 8 * 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}

Obwód trójkąta wynosi 16\sqrt{3} cm^2

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz