Proste prostopadłe na płaszczyźnie

Drukuj

Proste prostopadłe

Twierdzenie: Warunek prostopadłości prostych w postaci kierunkowej

Jeżeli mamy dane dwie proste w postaci kierunkowej:

$k: y=a_1x+b_1$

$l: y=a_2x+b_2$

to te dwie proste są prostopadłe jeżeli jest spełniony warunek:

$\Large a_1 * a_2=-1$

Przykład

Sprawdź czy proste $m: y=4x+5$ i $n: y=-\cfrac{1}{4}x+24$ są prostopadłe.

Zgodnie z powyższym, sprawdzamy warunek:

$4* \left(-\cfrac{1}{4}\right)=-1$

Zatem te proste są prostopadłe.

UWAGA!

Proste prostopadłe oznaczamy symbolem $\perp$ .

Twierdzenie: Warunek prostopadłości prostych w postaci ogólnej

Jeżeli mamy dane dwie proste w postaci ogólnej:

$k: A_1x+B_1y+C_1=0$

$l: A_2x+B_2y+C_2=0$

to te dwie proste są prostopadłe jeżeli jest spełniony warunek:

$\Large A_1A_2+B_1B_2=0$

Przykład

Sprawdź czy proste $m: 3x+5y+9=0$ i $n: 2x+5y+23=0$ są prostopadłe.

Zgodnie z powyższym, sprawdzamy warunek:

$3* 2+5 * 5=6+25=31 \neq 0$

Zatem te proste nie są prostopadłe.

Dane są proste o równaniach: $k: y=2x+7$ $l: x+2y-20=0$ $m: 3x+7y+2=0$

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Zadanie 1

Zbadaj czy proste $k$ oraz $l$ są prostopadłe:

$k: y=4x+3$

$l: y=-\cfrac{1}{4}x+5$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 2

Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu $y=-\cfrac{1}{2}x+8$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 3

Dane są punkty $A=(2,-3),\ B=(3,-1),\ C=(5,-7)$ . Prosta $k$ przechodzi przez punkty $B,\ C$ . Znajdź równanie prostej prostopadłej do prostej $k$ , przechodzącej przez punkt $A$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
2 komentarze

Zadanie 4

Znajdź równanie prostej, przechodzącej przez punkt $P = (3,7)$ , prostopadłej do prostej $y= -\cfrac{1}{3}x+8$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 5

Dane są punkty $A=(3,6),\ B=(5,1)$ . Wyznacz równanie symetralnej odcinka $AB$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 6

Dane są punkty $A=(3,6),\ B=(2,8)$ . Wyznacz równanie symetralnej odcinka $AB$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 7

Prosta $l$ ma równanie $y=5x+3$ . Prosta $k$ jest do niej prostopadła oraz przechodzi przez punkt $P=(0,6)$ . Wskaż równanie prostej $k$ :

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 8

Dana jest prosta o równaniu $k: 2x+3y-7=0$ . Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej $k$ przechodzącej przez punkt $(2,1)$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 9
Premium

Dane są punkty $A=(3,6),\ B=(7,2)$ . Wyznacz równanie symetralnej tego odcinka.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 10
Premium

Wiadomo, że prosta $k$ jest prostopadła do prostej $l$ . Współczynnik kierunkowy prostej $l$ to $-\cfrac{1}{3}$ oraz przecina oś $OY$ w punkcie $B=(0,2)$ . Prosta $k$ przechodzi przez punkt $A=(1,8)$ . Znajdź równania kierunkowe obu prostych.