Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną. Część 1.

Niech a \in \mathbb{R} i b \in \mathbb{R^+}.

Mamy daną nierówność z wartością bezwzględną typu:

|x-a|<b

W jaki sposób rozwiązujemy tego typu nierówności, przedstawimy na przykładzie:

 

Przykład:

|x-4|<6

Wyrażenie znajdujące się pod wartością bezwzględną musi być mniejsze od liczby 6 i jednocześnie większe od  liczby do niej przeciwnej -6. Zatem opuszczając wartość bezwzględną, otrzymujemy dwie nierówności, które muszą być spełnione jednocześnie:

\begin{matrix}x-4<6 &\text{i}&x-4>-6\end{matrix}

Rozwiązujemy je, i otrzymujemy:

\begin{matrix}x<10 &\text{i}&x>-2\end{matrix}

Zatem rozwiązaniem tego typu nierówności jest przedział:

x \in (-2,10)

Rozwiązanie to zaznaczamy na osi liczbowej:

Jeżeli nierówność byłaby słaba, tzn. mamy nierówność typu:

|x-a|\leq b

To rozwiązujemy analogicznie, przy czym rozwiązaniem jest przedział domknięty.

|x-4|\leq 6

x\geq -2   \wedge   x\leq 10

 

 

 

A teraz ćwiczenie dla Ciebie.  Poniżej znajduje się kilka nierówności z wartością bezwzględną.  Zdecyduj czy ich rozwiązania zostały poprawnie zaznaczone na osi liczbowej.

Rys.1 |x+2|<4

 

Rys.2 |x-5|\leq 1

 

Rys.3  |3-x|<8

 

Rys.4  |x+2|\leq 5

 

Zaznacz, które zdania są prawdziwe, a które falszywe

1. Nierówność |x+2|<4 jest poprawnie zaznaczona na Rys.1?
2. Nierówność |x-5|\leq 1 jest poprawnie zaznaczona na Rys.2?
3. Nierówność |3-x|<8 jest poprawnie zaznaczona na Rys.3?
4. Nierówność |x+2|\leq 5 jest poprawnie zaznaczona na Rys.4?

Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną. Część 2.

Mamy daną nierówność typu:

|x-a| > b

Podobnie jak wyżej rozwiązywanie tego typu nierówności przedstawimy na przykładzie:

|x-6|>3

Wyrażenie znajdujące się pod wartością bezwzględną musi być większe od 3 lub mniejsze od -3. Zatem opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy dwie nierówności. Rozwiązaniem będzie suma rozwiązań każdej z nich.

\begin{matrix}x-6>3 &\text{lub}&x-6<-3\end{matrix}

Rozwiązujemy obie nierówności:

\begin{matrix}x>9 &\text{lub}&x<3\end{matrix}

x\in (9,+\infty)   lub   x\in (-\infty, 3)

Rozwiązaniem jest zbiór będący sumą tych przedziałów:

(-\infty,3) \cup (9,+\infty)

 

Jeżeli nierówność jest słaba, czyli |x-6| \geq 3 wówczas rozwiązaniem jest zbiór:

 (-\infty,3] \cup [9,+\infty)


Zadanie 1

Rozwiąż równanie i zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej: | x+2| \leq 14

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Rozwiąż i zaznacz na osi: | x-9|< 10.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Przedział A jest złożony z liczb rzeczywistych będących rozwiązaniem nierówności |x+9|<5,3, natomiast przedział B składa się z tych liczb rzeczywistych, które są rozwiązaniem nierówności |x-3|>1,2. Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które należą jednocześnie do obu tych przedziałów.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Wybierz rysunek na którym przedstawiony jest zbiór rozwiązań nierówności |x-5|>3:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Zbiór rozwiązań nierówności    | x-3| < 2 został zaznaczony na osi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Rozwiąż i zaznacz na osi liczbowej: | x-4| \geq 11

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

A jest przedziałem określonym następująco: A=(a,b), gdzie a<b oraz a,b są rozwiązaniami równania |x+9|=3. Przedział B powstaje przez przesunięcie wzdłuż osi w prawo przedziału A o 3 jednostki. Wyznacz wszystkie elementy, które należą do przedziału A, a nie należą do przedziału B.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Zbiór rozwiązań nierówności    | x+4| \leq 1 został zaznaczony na osi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Zbiór rozwiązań nierówności    | x+7| \geq 3 został zaznaczony na osi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Zbiór rozwiązań nierówności  | x-1| > 5 został zaznaczony na osi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

 

Zbiór  zaznaczony na osi, opisuje nierówność:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

 

Zbiór  zaznaczony na osi jest rozwiązaniem nierówności:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Wiedząc, że

A=\{x\in \mathbb{R}: |2x-5|>3\},

B=\{x\in \mathbb{R}: \sqrt{9x^2+6x+1}<5\}

oblicz:

a) A\cup B,

b) B\backslash A.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Rozwiąż nierówność i zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej.

|9x+4|<6

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

Wyznacz zbiór A\cup B i zaznacz go na osi liczbowej, gdzie A=\{x \in \mathbb{R}: |3x-1|<6\}, B=\{x \in \mathbb{R}: |6x+8|<1\}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

Znajdź wszystkie liczby całkowite należące do zbioru

A=\{x\in \mathbb{R}: |3x-9|>3,|x-9|<2\}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

Wyznacz A\backslash B, gdzie A=\{x\in \mathbb{R}:|3x-4| > 5\}, B=\{x\in \mathbb{R}:|x+2| < 3\}.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz