Nierówności z wartością bezwzględną.

W tej nauce na podstawie przykładów pokażemy w jaki sposób rozwiązujemy nierówności z wartością bezwzględną.

Przykład 1

Rozwiąż nierówność:

|3x+6|+|x-2|\leq 8

Tak jak przy rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną, zaczynamy od wyznaczenia przedziałów  w jakich będziemy rozwiązywać naszą nierówność. Wyrażenia, które znajdują się pod wartością bezwzględną przyrównujemy do zera, aby wyznaczyć punkty podziału.

\begin{matrix} 3x+6 = 0 &\qquad x-2=0\\ x=-2& x=2 \end{matrix}

Dzielimy oś liczbową  na przedziały. W każdym z tych przedziałów rozwiązujemy nierówność.

  • x \in (-\infty,-2]

 Jeżeli x należy do tego przedziału, to

\begin{matrix} 3x+6 \leq 0 &\qquad x-2 <0\\ \end{matrix}.

Oba wyrażenia przyjmują wartości ujemne, dlatego opuszczając wartość bezwzględną, zmieniamy znak tych wyrażeń na przeciwny. Otrzymujemy nierówność:

-3x-6-x+2 \leq 8

-4x-4 \leq 8

-4x \leq 12

x \geq -3

Otrzymaliśmy przedział: x \in [-3,+\infty). Ponieważ rozwiązujemy tą nierówność tylko dla x \in (-\infty,-2], to wybieramy część wspólną obu przedziałów.

x \in (-\infty,-2] \cap [-3,+\infty)=[-3,-2]

x \in [-3,-2]

 

  • x \in (-2,2]

 Jeżeli x należy do tego przedziału, to

\begin{matrix} 3x+6 > 0 &\qquad x-2 \leq 0\\ \end{matrix}.

 Wyrażenie 3x+6 w tym przedziale przyjmuje wartości dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy znaku tego wyrażenia, zmieniamy natomiast znak drugiego wyrażenia, które w tym przedziale przyjmuje wartości niedodatnie. Otrzymujemy nierówność:

3x+6-x+2 \leq 8

2x+8 \leq 8

2x \leq 0

x \leq 0

Wybieramy część wspólną przedziałów.

x \in (-2,2] \cap (-\infty,0]=(-2,0]

x \in (-2,0]

 

  • x \in (2,+\infty)

 Jeżeli x należy do tego przedziału, to

\begin{matrix} 3x+6 > 0 &\qquad x-2 > 0\\ \end{matrix}.

Oba wyrażenia pod wartością bezwzględną przyjmują wartości dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy ich znaku.

 3x+6+x-2 \leq 8

 4x+4 \leq 8

 4x \leq 4

 x \leq 1

Wybieramy część wspólną przedziałów.

x \in (2,+\infty) \cap  (-\infty,1]=\O

Podsumowanie:

Sumujemy rozwiązania z wszystkich trzech rozważanych przedziałów:

x \in [-3,-2] \cup (-2,0]=[-3,0]

Otrzymujemy, że rozwiązaniem nierówności jest:

x \in [-3,0]

Przykłady zadań z nierównościami z wartością bezwzględną.

 

Przykład 2

Rozwiąż nierówność:

 

 | |4x-8| +7x | >9

Opuszczając zewnętrzną wartość bezwzględną, dzielimy rozwiązywanie nierówności na dwa przypadki.

  • |4x-8| + 7x > 9

|4x-8| >9 -7x

Opuszczamy wartość bezwzględną. Otrzymujemy dwie nierówności:

\begin{matrix}4x-8>9-7x&\qquad&\text{lub}\qquad4x-8<-9+7x\\11x>17 & & -3x<-1 \\ x>\cfrac{17}{11} & &x>\cfrac{1}{3}\end{matrix}

 Otrzymujemy zatem w tym przypadku, że:

x \in (\cfrac{1}{3}, +\infty)

  • |4x-8|+7x<-9

|4x-8|<-9-7x

Aby ta nierówność miała sens, to wyrażenie po prawej stronie musi być dodatnie. Ponieważ wartość bezwzględna jest nieujemna.

-9-7x>0

7x<-9

x<-\cfrac{9}{7}

Opuszczamy wartość bezwzględną. Otrzymujemy dwie nierówności:

\begin{matrix}4x-8<-9-7x\qquad&\text{i}\qquad & 4x-8>9+7x \\11x<-1 & & -3x>17 \\ x<-\cfrac{1}{11} & & x-\cfrac{17}{3}\end{matrix}

Sprawdzamy zgodność z założeniem:

-\cfrac{17}{3} < -\cfrac{9}{7}.

Otrzymujemy zatem w tym przypadku, że:

x \in (-\infty, -\cfrac{17}{3})

Podsumowanie:

Sumując oba rozważane przypadki, otrzymujemy, że

x \in (-\infty, -\cfrac{17}{3}) \cup (\cfrac{1}{3}, +\infty)

 

Przykład 3

Rozwiąż nierówność:

 | | 2x+10 | -5x | < 5

Opuszczamy zewnętrzną wartość bezwzględną i dzielimy rozwiązywanie nierówności na dwa przypadki. Ponieważ nierówność jest  <, to rozwiązaniem tej nierówności będzie część wspólna z obu przypadków.

  • |2x+10|-5x<5

|2x+10|<5x+5

Aby ta nierówność miała sens, to prawa strona tej nierówności musi być dodatnia:

5x+5>0

x>-1

Opuszczamy wartość bezwzględną i rozwiązujemy dwie nierówności:

\begin{matrix}2x+10<5x+5\qquad&\text{i}\qquad2x+10>-5x-5 \\ 5<3x & 7x>-15 \\ x>\cfrac{5}{3} & x>-\cfrac{15}{7}\end{matrix}

Wybieramy część wspólną i otrzymujemy, że:

x \in (\cfrac{5}{3}, +\infty)

Założenie x>-1 jest spełnione.

  • |2x+10|-5x>- 5

|2x+10|>5x-5

Opuszczamy wartość bezwzględną i rozwiązujemy dwie nierówności:

\begin{matrix}2x+10>5x-5\qquad & \text{lub}\qquad 2x+10<-5x+5 \\ 15>3x & 7x<-5 \\ x<5 & x < -\cfrac{5}{7}\end{matrix}

Sumujemy rozwiązania  z obu nierówności i otrzymujemy, że:

x \in (-\infty,5)

Podsumowanie:

Wybieramy część wspólną rozwiązań jakie otrzymaliśmy w obu przypadkach:

x \in (-\infty,5) \cap (\cfrac{5}{3}, +\infty) = (\cfrac{5}{3},5)

Rozwiązaniem nierówności jest

x \in (\cfrac{5}{3},5)


Zadanie 1

Rozwiąż nierówność: | x-3| \geq 11

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

 

Zbiór  zaznaczony na osi, opisuje nierówność:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Przedział A jest złożony z liczb rzeczywistych będących rozwiązaniem nierówności |x+9|<5,3, natomiast przedział B składa się z tych liczb rzeczywistych, które są rozwiązaniem nierówności |x-3|>1,2. Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które należą jednocześnie do obu tych przedziałów.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Wskaż liczbę, która spełnia nierówność |3x-4|x||>5.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

4 komentarze

  1. Default avatar
    danioterix 01.02.2012 19:58

    w przykładzie 3 jest błąd:
    Wybieramy część wspólną i otrzymujemy, że:

    x∈(5/7,+∞) nie ma takiej liczby jak 5/7, jest tylko 5/3 i -15/7 czesc wspolna z zalozeniem x>-1 to x>-15/7
    w drugiej czesci zadania nie ma zalozenia (chyba ze nie musi)
    -5+5x>0
    x>1

  2. Default avatar
    konto-usuniete 12.04.2012 19:04

    Poprawione.

  3. Karmonek 20120423082012 thumb
    Karmonek 23.04.2012 10:08

    Hmm w przykładzie 2 jest błąd skoro dla drugiego przypadku ustaliliśmy założenie o wartości bezwzględnej nieujemnej to dlaczego dla pierwszego to nie jest ustalone?

  4. D mek 20120307223004 thumb
    d_mek 07.05.2012 12:46

    @Karmonek
    Po prostu wartość bezwzględna nie może być mniejsza od liczby ujemnej, ale może(musi) być większa od liczby ujemnej.
    W pierwszym przypadku był znak > więc nie było potrzebne założenie (i tak moduł będzie większy od liczby ujemnej).
    W drugim przypadku był znak < więc było potrzebne założenie (moduł nie może być mniejszy od liczby ujemnej).

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz