Kombinacje

Definicja: Kombinacje

Dany  jest zbiór A=\{a_1,a_2,...,a_n\}, n-elementowy . Kombinacją (bez powtórzeń) k-elementową (k\leq n) nazywamy każdy k-elementowy podzbiór zbioru A.

Innymi słowy kombinacje pozwalają nam policzyć na ile sposobów jesteśmy wstanie wybrać k elementów z pełnego (n-elementowego) zbioru.

Rozważmy nasze kule w urnie ponumerowane od 1 do 5, które tworzą pewien zbiór 5-elementowy. Jeżeli z tej urny wybierzemy dwie kule, to otrzymamy kombinację 2-elementową tego zbioru. Nie jest tutaj ważna kolejność tych kul. Kombinację tworzy podzbiór, a nie ciąg elementów.


 

Przykład 1

Dany jest zbiór X=\{a,b,c\}. Wypisz wszystkie 2-elementowe kombinacje tego zbioru.

Wybieramy wszystkie 2-elementowe podzbiory zbioru X:

\{a,b\}

\{b,c\}

\{a,c\}

UWAGA!

W kombinacjach kolejność elementów nie jest ważna!

\{a,b\}\equiv \{b,a\}

 

Możemy obliczać liczbę możliwych kombinacji zbioru.

Wzór: Liczba kombinacji k-elementowych ze zbioru n-elementowego

Liczba wszystkich kombinacji (bez powtórzeń) k-elementowych zbioru n-elementowego jest równa

C^k_n=\binom{n}{k}=\cfrac{n!}{k!(n-k)!}

Przykład 2

Ile jest wszystkich podzbiorów 3-elementowych zbioru 6-elementowego?

 

Obliczamy ilość podzbiorów:

C^3_6=\binom{6}{3}=\cfrac{6!}{3!(6-3)!}=\cfrac{6!}{3!3!}=\cfrac{4* 5* 6}{3 * 2 * 1}=20

Dany jest zbiór X=\{1,2,3,4,5,6,7\} Oceń poprawność zdań.

Jest 42 podzbiory 3-elementowe zbioru X.
Jest 35 podzbiorów 4 -elementowych zbioru X.
Jest 21 podzbiorów 5-elementowych zbioru X.

Zadanie 1

Dany jest zbiór A=\{1,2,3,4,5\}. Oblicz liczbę wszystkich:

a) dwuwyrazowych ciągów o wyrazach ze zbioru A (elementy mogą się powtarzać)

b) dwuelementowych podzbiorów zbioru A

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

W Dużym Lotku jest losowanych 6 numerów spośród 49. Ile różnych wyników można otrzymać w tym losowaniu?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

W urnie znajduje się  8 kul zielonych i  9 kul czerwonych. Na ile sposobów można wyjąć z urny  4 kule tak, aby:

a) wszystkie kule były zielone

b) wszystkie kule były jednego koloru

c) wśród wylosowanych kul były dwie kule czerwone i dwie zielone?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Na ile sposobów można podzielić grupę sześcioosobową, na trzy zespoły dwuosobowe?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

W turnieju szermierskim rozegrano 105 walk. Ile było zawodników, jeżeli każdy z każdym grał jeden raz?

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz