Drukuj

Przykłady wykorzystania reguły mnożenia

Reguła mnożenia mówi nam na ile sposobów możemy coś "wybrać" z danego zbioru lub zbiorów. Najlepiej pokażą to przykłady, bo jest to bardzo proste.

Większość zadań z kombinatoryki w całości lub w jakimś stopniu opiera się właśnie o regułę mnożenia.

Przykład 1

Niech A=\{1,2,3,4\}  oraz  B=\{5,6,7,8\}. Ile liczb dwucyfrowych można otrzymać, losując cyfrę dziesiątek ze zbioru A natomiast cyfrę jedności ze zbioru B ?

Zgodnie z zasadą mnożenia jest to:

4 * 4 = 16

Mamy 4 możliwe cyfry do wybrania ze zbioru A oraz 4 ze zbioru B.

Przykład 2

Ile jest liczb trzycyfrowych?

Oznaczmy kolejne cyfry liczby trzycyfrowej

(x_1, x_2, x_3)

Skoro jest to liczba trzycyfrowa, to  pierwsza cyfra nie może być zerem. Czyli x_1  jest jedną z liczb ze zbioru:

x_1 \in \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}

Cyfra dziesiątek i jednostek są jedną z liczb ze zbioru:

x_2, x_3 \in \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}

Ilości elementów kolejnych zbiorów to

n_1 = 9

n_2 = n_3 = 10

Zatem ilość liczb trzycyfrowych znajdziemy korzystając z zasady mnożenia:

9 * 10 * 10 = 900

Wszystkich liczb trzycyfrowych jest  900 .

 

Przykład 3

Ile jest liczb maksymalnie 4 cyfrowych, które są podzielne przez  5 ?

 

Aby, liczba była podzielna przez  5 , to na miejscu jedności musi znajdować się  0 lub  5 .

Oznaczmy kolejne cyfry liczby  4 cyfrowej

 

(x_1, x_2, x_3, x_4)

Ponieważ liczba musi być podzielna przez  5 , to ostatnia cyfra jest 0 lub 5, czyli:

x_4 \in \{ 0, 5 \}

Ponieważ liczba może zawierać mniej cyfr, niż 4 ( czyli może to być liczba trzycyfrowa, dwucyfrowa lub jednocyfrowa), więc  uwzględniamy zero:

x_1, x_2, x_3 \in \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}.

Ilości elementów kolejnych zbiorów to

n_4 = 2

n_1 = n_2 = n_3 = 10

Ilość liczb znajdziemy z zasady mnożenia:

10 * 10 * 10 * 2 = 2000

Wszystkich liczb maksymalnie  4 cyfrowych podzielnych przez  5 jest  2000 .


Zadanie 1

Ile jest takich liczb czterocyfrowych, których suma pierwszych dwóch cyfr wynosi 4, a ostatnia cyfra jest parzysta?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Dany jest zbiór A=\{1,2,3,4,5\}. Oblicz liczbę wszystkich:

a) dwuwyrazowych ciągów o wyrazach ze zbioru A (elementy mogą się powtarzać)

b) dwuelementowych podzbiorów zbioru A

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

W pudełku znajdują się  4 kule białe i 10 kul zielonych. Losujemy dwie kule bez zwracania. Na ile sposobów można wyciągnąć z pudełka dwie kule o różnych kolorach?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Na ile sposobów można rozmieścić liczby od 1 do 9 w tablicy o wymiarach 3 \times 3  ?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Kamil gra w pewną grę komputerową. Aby skończyć grę, należy przejść przez 3 poziomy. Każdy poziom ma kilka sposobów na jego ukończenie, a liczba tych sposobów zawsze jest o jeden większa niż numer poziomu. Ile jest wszystkich możliwości ukończenia gry?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Na ile sposobów można rozmieścić liczby od 1 do 4 w tablicy o wymiarach 2 \times 2  ?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od  4 ?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są parzyste?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Na ile sposobów mogą usiąść cztery osoby na pięciu miejscach?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10
Premium

Ile jest sposobów pomalowania powyższej flagi, czterema kolorami tak, aby kolor każdej części był inny?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11
Premium

Rzucamy najpierw dwa razy monetą, później kostką do gry. Ile jest możliwych wyników, w których w rzucie monetą otrzymamy różne wyniki, a w rzucie kostką liczba wyrzuconych oczek będzie większa od  4 ?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12
Premium

W pudełku znajdują się 2 kule białe, 6 czerwonych i 6 zielonych. Na ile sposobów można wyciągnąć z tego pudełka trzy kule, z których każda jest innego koloru?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13
Premium

Ile jest takich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, których druga i czwarta cyfra jest parzysta,a pozostałe trzy nieparzyste?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14
Premium

Na ile sposobów może usiąść 5 osób na 5 krzesłach, jeżeli najwyższa i najniższa osoba mają siedzieć na skrajnych krzesłach?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15
Premium

Ile jest takich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, których trzecia i czwarta cyfra jest parzysta,a pozostałe trzy nieparzyste?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16
Premium

Dany jest zbiór cyfr \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. Ile można ułożyć ciągów czterowyrazowych z elementów tego zbioru, którego kolejne cyfry będą dzielnikami liczby 32? (o różnych wyrazach)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17
Premium

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, takich że cyfra tysięcy oraz dziesiątek są takie same?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18
Premium

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry i po każdym rzucie zapisujemy liczbę wyrzuconych oczek

a) Ile jest wszystkich możliwych wyników?

b) Ile jest wszystkich wyników, w których w pierwszym rzucie otrzymamy liczbę parzystą, a w drugim liczbę nieparzystą?

c) Ile jest wszystkich wyników, w których liczba wyrzuconych oczek w jednym z rzutów będzie parzysta, a w drugim nieparzysta?

d) Ile jest wszystkich wyników takich, że suma wyrzuconych oczek jest liczbą parzystą?

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

4 komentarze

  1. Monika910310 20120315100942 thumb
    monika910310 06.05.2012 17:15

    Jak to możliwe, że pierwsza liczbą może być zero? Chodzi mi o przykład 3. Wydaje mi się, że mogą to być tylko liczby 1,2,3,4,5,6,7,8,9, a reszta może zawierać jeszcze dodatkowo zero...

  2. Default avatar
    ewka1 20.11.2012 18:27

    szczerze ja w ogóle tego wszystkiego nie pojmuję...obecnie biorę to na lekcjach matematyki i za niedługo będzie sprawdzian, a ja nie mogę tego załapać :/

  3. Benioszka 20111122210659 thumb
    Benioszka 05.11.2016 11:44

    Wydaje mi się że w przykładzie 3 jest błąd bo pierwsza cyfrę wybieramy jak koleżanka wspomniała bez zera więc z 9 cyfr a wiec 9*10*10*2 = 1800.

  4. Lukasz 20120124104827 thumb
    lukasz 14.01.2019 19:52

    Zwróćcie uwagę że w treści jest napisane "maksymalnie cztero cyfrowe" to znaczy ze liczba moze byc tez 3 lub 2 lub 1 cyfrowa. Dlatego na każdej pozycji może być zero. Także na pierwszej.

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz