Podobieństwo figur

Własności:

 

Podobieństwo zachowuje

  • współliniowość punktów
  • uporządkowanie punktów na prostej
  • miary kątów

 \alpha = \alpha ',\ \beta = \beta ',\ \gamma = \gamma '

  • stosunek długości odpowiednich odcinków

 \cfrac{|DF|}{|AC|} = \cfrac{|DE|}{|AB|} = \cfrac{|FE|}{|CB|}

Skala podobieństwa 

Jeżeli istnieje podobieństwo o skali  k > 0 , przekształcające figurę  m na figurę  n , to figury  m,\ n nazywamy podobnymi w skali  k . Podobieństwo to oznaczamy jako  m \sim n . Wówczas:

  • stosunek obwodów figur  m,\ n , podobnych w skali  k , jest równy  k

 \cfrac{|DF| + |DE| + |FE|}{|AC| + |AB| + |CB|} = k

  • stosunek pól figur  m,\ n , podobnych w skali  k , jest równy  k^2

 \cfrac{ P_{\bigtriangleup DFE} }{ P_{\bigtriangleup ACB} } = k^2

Podobieństwo

Definicja: Podobieństwo

Wzajemnie jednoznaczne przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę nazywamy podobieństwem tej płaszczyzny, gdy istnieje liczba  k > 0 taka, że każdej parze punktów  A,\ B przyporządkowuje punkty  A',\ B'  takie, że

 |A'B'| = k * |AB|

Liczbę k nazywa się skalą podobieństwa.

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Figurami podobnymi są każde dwa odcinki.
Figurami podobnymi są każde dwa trójkąty.
Figurami podobnymi są każde dwa okręgi.
Figurami podobnymi są każde dwie kule.

Do czego potrzebne jest nam podobieństwo?

Najprostrzym przykładem na zastosowanie skali podobieństwa jest mapa. Na mapę przenoszone jest odwzorowanie płaszczyzny ziemi, w skali. Na każdej mapie, mamy podaną skalę, np. 1:10 000. Co to oznacza? Oznacza, to że jednej jednostce na mapie, odpowiada 10 000 jednostek na powierzchni ziemi. Czyli

1 cm na mapie to 10 000 cm (100 m) na powierzchni Ziemi.

 

Ze skali podobieństwa korzystają także architekci. Wykonując projekt budynku, nie rysują go w rzeczywistych rozmiarach, tylko pomniejszony ( w skali).


Zadanie 1

Czworokąt ABCD jest podobny do czworokąta EFGH w skali 3. Różnica pól tych czworokątów wynosi 64\ cm^2. Oblicz pole każdego z tych czworokątów.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Trapez  ABCD  jest podobny do trapezu  EFGH. Wiadomo, że stosunek pola pierwszego trapezu do pola drugiego wynosi  4 . Oblicz a oraz b.


 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Czworokąt ABCD jest podobny do czworokąta EFGH w skali 4 . Różnica pól tych czworokątów wynosi 225\ cm^2. Oblicz pole każdego z tych czworokątów.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Czworokąt ABCD  jest podobny do czworokąta EFGH  w skali  \cfrac{1}{2}. Stosunek pola czworokąta  ABCD do pola czworokąta EFGH wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Obwód pewnego kwadratu zmniejszono  4 razy. Ile razy zmniejszyło się pole tego kwadratu?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Stosunek obwodów dwóch wielokątów podobnych wynosi \cfrac{2}{3}. Stosunek pól tych wielokątów to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Stosunek obwodów dwóch wielokątów podobnych wynosi \cfrac{3}{4}. Stosunek pól tych wielokątów to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Stosunek pól dwóch wielokątów podobnych wynosi \cfrac{121}{256}. Stosunek obwodów tych wielokątów to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Dany jest trójkąt ABC jak na rysunku. Wykaż, że trójkąty AEO i BCE są podobne, jeżeli odcinki AD i BE są wysokościami trójkąta ABC.

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Prostokąt ABCD jest podobny do prostokąta EFGH. Stosunek pól tych prostokątów wynosi 9. Różnica długości między krótszymi bokami tych prostokątów wynosi  4 , natomiast między dłuższymi bokami wynosi 6. Oblicz długości boków obu prostokątów.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz