Warunek konieczny zbieżności szeregu

 

Twierdzenie: Warunek konieczny zbieżności szeregu

Jeżeli szereg \sum_{n=1}^{\infty} a_n jest zbieżny, to \lim_{n \rightarrow \infty}a=0.

Badając zbieżność szeregów warto zacząć właśnie od warunku koniecznego zbieżności. Ale uwaga, powyższe twierdzenie nie działa "w obie strony". Ma ono zastosowanie tylko wtedy, gdy granica ciągu (a_n) jest różna od zera. Automatycznie możemy wówczas stwierdzić, że warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony, zatem szereg jest rozbieżny. Jeżeli ciąg (a_n) ma granicę równą zero, to niestety ale należy zastosować inne kryterium.

UWAGA!

Jeżeli badasz zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty} a_n, to:

  • jeżeli \lim_{n \rightarrow \infty}a_n\neq 0, to szereg jest rozbieżny,
  • jeżeli \lim_{n \rightarrow \infty}a_n = 0, to stosujemy inne kryteria.

 

Przykład:

Na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregu, sprawdź które szeregi są rozbieżne:

  •  \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{n}{n+5},

Obliczamy granicę ciągu.

\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{n}{n+5}=\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{1}{1+\cfrac{5}{n}}=1\neq 0

Ponieważ granica jest różna od zera, to szereg z pewnością jest rozbieżny.

  • \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^4}.

\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{1}{n^4}=0

Granica ciągu jest równa zero, zatem warunek konieczny zbieżności szeregu jest spełniony. Na tej podstawie nie możemy określić czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny.

  •  \sum_{n=1}^{\infty} (n-\sqrt{n^2+n-1}),

Sprawdzamy granicę ciągu.

\lim_{n\rightarrow \infty}(n-\sqrt{n^2+n-1})=\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{(n-\sqrt{n^2+n-1})(n+\sqrt{n^2+n-1})}{(n+\sqrt{n^2+n-1})}

=\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{(n^2-(n^2+n-1)}{(n+\sqrt{n^2+n-1})}=\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{-n+1}{n+\sqrt{n^2+n-1}}

=\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{-1+\cfrac{1}{n}}{1+\sqrt{1+\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n^2}}}=-\cfrac{1}{2}

Ponieważ granica jest różna od zera, to szereg jest rozbieżny.



Zadanie 1

Zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cfrac{n+3}{\sqrt{n^2+2n}}\right).

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz