Kryterium porównawcze(1)
Jeżeli szeregi ,
są szeregami o wyrazach nieujemnych oraz istnieje takie
, że dla każdego
spełniona jest nierówność
, to:
- jeżeli szereg
jest rozbieżny, to szereg
jest również rozbieżny,
- jeżeli szereg
jest zbieżny, to szereg
jest również zbieżny.
Stosując kryterium porównawcze, zbadaj zbieżność szeregu .
Funkcja sinus przyjmuje wartości z przedziału . Oznacza, to że dla każdego
prawdziwa jest nierówność
Szereg harmoniczny jest zbieżny zatem szereg
jest również zbieżny.
Kryterium porównawcze(2) - kryterium ilorazowe
Twierdzenie: Kryterium porównawcze (2) - kryterium ilorazowe
Jeżeli szeregi ,
są szeregami o wyrazach nieujemnych oraz istnieje granica
gdzie , to:
- jeżeli
oraz szereg
jest zbieżny, to szereg
jest również zbieżny,
- jeżeli
oraz szereg
jest rozbieżny, to szereg
jest również rozbieżny.
Przykład:
Stosując kryterium porównawcze, zbadaj zbieżność szeregu .
Porównajmy szereg z szeregiem
. Obliczamy granicę:
Ponieważ szereg jest zbieżny, oraz
, to na podstawie kryterium porównawczego otrzymujemy, że szereg
jest również zbieżny.
Kryterium porównawcze(3)
Twierdzenie: Kryterium porównawcze (3)
Jeżeli szeregi ,
są szeregami o wyrazach dodatnich oraz istnieje takie
, że dla każdego
spełniona jest nierówność
, to:
- jeżeli szereg
jest rozbieżny, to szereg
jest również rozbieżny,
- jeżeli szereg
jest zbieżny, to szereg
jest również zbieżny.
Zobacz rozwiązanieZbadaj zbieżność szeregu
.
Przeczytaj także:
- Szereg liczbowy - definicja, zbieżność szeregu.
- Kryteria zbieżności szeregów-warunek konieczny
- Kryterium d'Alamberta zbieżności szeregu
- Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregu
- Kryterium kondensacyjne (2^k)
- Kryterium Leibniza zbieżności szeregu
\Sigma
n^{2}
frac{1}{n}$}