Kryterium porównawcze(1)

Twierdzenie: Kryterium porównawcze (1)

Jeżeli szeregi \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \sum_{n=1}^{\infty}b_n są szeregami o wyrazach nieujemnych oraz istnieje takie n_0, że dla każdego n>n_0 spełniona jest nierówność a_n \leq b_n, to:

  1. jeżeli szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_n jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_n jest również rozbieżny,
  2. jeżeli szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_n jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_n jest również zbieżny.
Przykład:

Stosując kryterium porównawcze, zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{\sin(n!)}{n^4}.

 

Funkcja sinus przyjmuje wartości z przedziału [-1,1]. Oznacza, to że dla każdego n prawdziwa jest nierówność 

\cfrac{\sin(n!)}{n^4}\leq \cfrac{1}{n^4}

Szereg harmoniczny \sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{n^4} jest zbieżny zatem szereg \sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{\sin(n!)}{n^4} jest również zbieżny.

Kryterium porównawcze(2) - kryterium ilorazowe


Twierdzenie:
 Kryterium porównawcze (2) - kryterium ilorazowe

Jeżeli szeregi \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \sum_{n=1}^{\infty}b_n są szeregami o wyrazach nieujemnych oraz istnieje granica

g=\lim_{n\rightarrow \infty} \cfrac{a_n}{b_n}  

gdzie g \in [0,\infty)\cup\{\infty\}, to:

  1. jeżeli g<\infty oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_n jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_n jest również zbieżny,
  2. jeżeli g>0 oraz szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_n jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_n jest również rozbieżny.

Przykład:

Stosując kryterium porównawcze, zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{n(n+1)}.

 

Porównajmy szereg \sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{n(n+1)} z szeregiem \sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{n^2}. Obliczamy granicę:

g=\lim_{n\rightarrow \infty} \cfrac{\cfrac{1}{n(n+1)}}{\cfrac{1}{n^2}}=\lim_{n\rightarrow \infty} \cfrac{\cfrac{1}{n^2+n}}{\cfrac{1}{n^2}}=\lim_{n\rightarrow \infty} \cfrac{n^2}{n^2+n}}=\lim_{n\rightarrow \infty} \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{n}}}=1  

Ponieważ szereg \sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{n^2} jest zbieżny, oraz g<\infty, to na podstawie kryterium porównawczego otrzymujemy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{n(n+1)} jest również zbieżny.

 

 

Kryterium porównawcze(3)


Twierdzenie:
 Kryterium porównawcze (3)

Jeżeli szeregi \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \sum_{n=1}^{\infty}b_n są szeregami o wyrazach dodatnich oraz istnieje takie n_0, że dla każdego n>n_0 spełniona jest nierówność \cfrac{a_{n+1}}{a_n} \leq \cfrac{b_{n+1}}{b_n}, to:

  1. jeżeli szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_n jest rozbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_n jest również rozbieżny,
  2. jeżeli szereg \sum_{n=1}^{\infty}b_n jest zbieżny, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_n jest również zbieżny.


 

 


Zadanie 1

Zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right).

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

1 komentarz

  1. Default avatar
    polan 22.08.2013 17:00

    \Sigma /frac{1}{n^{2}} sqrt{sinfrac{1}{n}$}

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz