Drukuj

Kryterium Cauchy'ego


Twierdzenie:
 Kryterium Cauchy'ego

Jeżeli szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_n jest szeregiem o wyrazach nieujemnych oraz g=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}, to 

  • jeżeli g<1, to szereg jest zbieżny,
  • jeżeli g>1, to szereg jest rozbieżny.
UWAGA!

Kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga zbieżności bądź rozbieżności szeregu jeżeli g=1. W takim wypadku należy zastosować inne kryterium.

Kryterium Cauchy'ego zwykle stosujemy, gdy wzór ciągu (a_n) zawiera funkcję potęgową bądź funkcję wykładniczą. Nie jest to oczywiście zasadą, jednak często "działa".

Przykład:

Stosując kryterium Cauchy'ego zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty}\left(\cfrac{n}{5n+3}\right)^n.

 

Badamy granicę:

g=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\left(\cfrac{n}{5n+3}\right)^n}=\lim_{n\rightarrow \infty}{\left(\cfrac{1}{5+\cfrac{3}{n}}\right)}=\cfrac{1}{5}<1

Otrzymaliśmy, że g<1 zatem szereg jest zbieżny.

Przykład:

Stosując kryterium Cauchy'ego zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{3^n+4^n}.

 

Badamy granicę:

g=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\cfrac{1}{3^n+4^n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\cfrac{1}{4^n\left(\left(\cfrac{3}{4}\right)^n+1\right)}}=\cfrac{1}{4}<1

Otrzymaliśmy, że g<1 zatem szereg jest zbieżny.

 


Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz