Szereg liczbowy

Definicja: Szereg liczbowy nieskończony

Szeregiem liczbowym nieskończonym nazywamy ciąg (S_n) sum częściowych

S_1=a_1

S_2=a+1a_2

S_3=a_1+a_2+a_3

...

S_n=a_1+...+a_n

...

Szereg oznaczamy symbolem \sum_{n=1}^{\infty}a_n. Liczby a_n nazywamy wyrazami szeregu, natomiast S_n to n-ta suma częściowa szeregu.

Przykład:

Przykłady szeregów:

\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^\alpha} -szereg harmoniczny rzędu \alpha

\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^n}{n^2+n+1}

\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{2^n}{3^n+4^n}

Zbieżność szeregu liczbowego

Definicja: Szereg zbieżny

Jeżeli istnieje liczba S=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n, to liczbę tę nazywamy sumą szeregu i piszemy S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n, a szereg nazywamy zbieżnym.

Definicja: Szereg rozbieżny

Szereg, który nie jest zbieżny nazywamy szeregiem rozbieżnym.

Twierdzenie: Warunek konieczny zbieżności szeregu

Jeżeli szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_n jest zbieżny, to \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0.

  Warunek konieczny zbieżności szeregu został szerzej opisany w rodziale: Kryteria zbieżności szeregu-warunek konieczny.

Zbieżność szeregów badamy stosując odpowiednie kryteria zbieżności:

1) Kryterium d'Alamberta

2) Kryterium Cauchy'ego

3) Kryterium porównawcze

4) Kryterium kondensacyjne

5) Kryterium Leibniza

oraz sprwadzając warunek konieczny zbieżności szeregu.

Dla szeregów liczbowych definiujemy dwa rodzaje zbieżności: warunkową i bezwzględną.

Definicja: Szereg bezwzględnie zbieżny

Szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_n jest zbieżny bezwzględnie, jeżeli szereg \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| jest zbieżny.

 

Definicja: Szereg zbieżny warunkowo

Szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_n jest zbieżny warunkowo, jeżeli jest zbieżny.


Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz