Kryterium kondensacyjne (2^k)

Twierdzenie: Kryterium kondensacyjne (2^k)

Jeżeli szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_n jest szeregiem o wyrazach dodatnich oraz ciąg (a_n) jest malejący, to 

\sum_{n=1}^{\infty}a_n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg \sum_{k=0}^{\infty}2^k a_{2^k} jest zbieżny.

Powyższe kryterium zwykle stosujemy, gdy ciąg (a_n) zawiera logarytm. Zobacz przykład poniżej.

 

Przykład:

Zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n(\ln(n))^2}

 

Ciąg a_n=\cfrac{1}{n(\ln(n))^2} jest malejący. Badamy zatem zbieżność szeregu \sum_{k=1}^{\infty} 2^k\cfrac{1}{2^k(\ln(2^k))^2}.

 \sum_{k=1}^{\infty} 2^k \cfrac{1}{2^k(\ln(2^k))^2}=\sum_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{(k\ln(2))^2}=\sum_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^2(\ln(2))^2}=\cfrac{1}{(\ln(2))^2}\sum_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^2}.

 

Ponieważ szereg \sum_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^2} jest zbieżny, to szereg \sum_{k=1}^{\infty} 2^k\cfrac{1}{2^k(\ln(2^k))^2} jest również zbieżny. Na podstawie kryterium kondensacyjnego otrzymujemy, że badany szereg \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n(\ln(n))^2} jest zbieżny.


Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz