Kryterium Leibniza

Twierdzenie: Kryterium Leibniza

Jeżeli ciąg (a_n) jest malejący i zbieżny do zera, to szereg \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n jest zbieżny.

 

Przykład:

Zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \cfrac{3}{n^3}.

 

Badamy czy dla danego szeregu spełnione są warunki Kryterium Leibniza, czyli sprawdzamy monotoniczność i zbieżność  ciągu a_n=\cfrac{3}{n^3}.
1) zbieżność ciągu
Ponieważ \lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{3}{n^3}=0, to pierwszy warunek jest spełniony.
2) monotoniczność
Ponieważ dla każdego n spełniony jest warunek \cfrac{3}{n^3}>\cfrac{3}{(n+1)^3}, to ciąg jest malejący.
Na podstawie Kryterium Leibniza, otrzymujemy, że szereg \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \cfrac{3}{n^3} jest zbieżny.

Zadanie 1

Zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cfrac{3^n+4^n}{4^n+5^n}\right).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \left(\cfrac{n}{3n+5}\right)^n.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \sin\left(\cfrac{1}{n}\right) .

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cfrac{n}{4^n}\right).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cfrac{n+3}{\sqrt{n^2+2n}}\right).

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

2 komentarze

  1. Default avatar
    Batu007 30.08.2012 21:49

    3/n^3 nie jest mniejsze od 3/(n+1)^3. Jest odwrotnie

  2. Default avatar
    iissabell 14.03.2014 18:20

    kiedy zwiększamy mianownik zmniejsza się liczba, więc to jest poprawnie zapisane

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz