Kryterium d'Alamberta

 

Twierdzenie: Kryterium d'Alamberta

Jeżeli szereg \sum_{n=1}^{\infty}a_n jest szeregiem o wyrazach dodatnich oraz g=\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{a_{n+1}}{a_n}, to 

  • jeżeli g<1, to szereg jest zbieżny,
  • jeżeli g>1, to szereg jest rozbieżny.
UWAGA!

Kryterium d'Alamberta nie rozstrzyga zbieżności bądź rozbieżności szeregu jeżeli g=1. W takim wypadku należy zastosować inne kryterium.

Kryterium d'Alamberta zwykle stosujemy, gdy wzór ciągu (a_n) zawiera silnię bądź funkcję wykładniczą. Nie jest to oczywiście zasadą, jednak często "działa".

Przykład:

Stosując kryterium d'Alamberta zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{n}{2^n}.

 

Ponieważ a_n=\cfrac{n}{2^n}, to a_{n+1}=\cfrac{n+1}{2^{n+1}}. Obliczamy granicę:

g=\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{\cfrac{n+1}{2^{n+1}}}{\cfrac{n}{2^n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{n+1}{2^{n+1}} * \cfrac{2^n}{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{1+\cfrac{1}{n}}{2}=\cfrac{1}{2}<1

Otrzymaliśmy, że g<1 zatem szereg jest zbieżny.

 

Przykład:

Stosując kryterium d'Alamberta zbadaj zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{n}{(n+1)!}.

 

Ponieważ a_n=\cfrac{n}{(n+1)!}, to a_{n+1}=\cfrac{n+1}{(n+2)!}. Obliczamy granicę:

g=\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{\cfrac{n+1}{(n+2)!}}{\cfrac{n}{(n+1)!}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{n+1}{(n+2)!} * \cfrac{(n+1)!}{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{n+1}{n(n+2)}=0<1

Otrzymaliśmy, że g<1 zatem szereg jest zbieżny.

 


Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz