Proporcjonalność odwrotna

Proporcjonalność odwrotna to taka zależność między dwiema zmiennymi wielkościami $x$ i $y$ , w której iloczyn tych wielkości jest stały. Czyli:

$x * y=a$

gdzie

$a \in \mathbb{R}$

Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne.

W praktyce oznacza to, że jedna wielkość maleje np 3 razy, a druga tyle samo razy rośnie w tym samym czasie. np. gdy skrócimy czas dojazdu samochodem 2 razy to prędkość musimy zwiększyć dwa razy aby znaleźć się w miejscu docelowym (przejechać tę samą drogę).

Z powyższego wzoru możemy obliczyć $x$ w zależności od $y$ , wtedy:

$x=\cfrac{a}{y}$

oraz $y$ w zależności od $x$ , wtedy:

$y=\cfrac{a}{x}$

Zauważ że ostatni wzór to wzór funkcji homograficznej.

Wniosek:

Wielkości odwrotnie proporcjonalne możemy opisywać za pomocą funkcji homograficznej.

Przykład

Weźmy dla przykładu podstawowy wzór fizyczny:

$v=\cfrac{s}{t}$ .

Zakładając że droga (s) jest stała, prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do czasu. Np. jedzie samochód z miasta A do miasta B. Im szybciej jedzie, tym mniej czasu mu to zajmie. Odległość między tymi miastami się nie zmienia, czyli droga (s) jest wielkością stałą.

Zadanie 1

Dany jest prostokąt o polu $40 \ cm^2$ . Wskaż funkcję, opisującą zmianę długości jednego boku w zależności od zmiany długości drugiego boku, jeżeli pole prostokąta ma pozostać nie zmienione.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 2
Premium

Dwóch pracowników pracując razem wykonuje pewną pracę w ciągu dwóch godzin. Pierwszy pracownik wykonuje pracę wolniej niż drugi. Gdyby miał on wykonać całą pracę samodzielnie, to pracowałby o 3 godziny dłużej niż drugi pracownik. W jakim czasie każdy z pracowników jest w stanie wykonać całą pracę samodzielnie?

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
2 komentarze

Zadanie 3
Premium

Samochód poruszając się ze średnią prędkością $60\ \cfrac{km}{h}$ przejechał trasę z miejscowości $A$ do miejscowości $B$ w ciągu $2h\ 20min$ .

a) Jak szybko ten samochód pokonałby tę trasę, gdyby zwiększył szybkość do $80\ \cfrac{km}{h}$ ? (Wynik podaj w minutach)

Z miejscowości $B$ w tym samym czasie co z miejscowości $A$ wyruszył samochód, który porusza się ze średnią prędkością o $30\cfrac{km}{h}$ większą niż samochód, który wyjechał z miejscowości $A$ . Oblicz:

b) w jakiej odległości od miejscowości $A$ spotkają się oba samochody. (Wynik podaj w kilometrach)

c) po jakim czasie spotkają się oba samochody (Wynik podaj w minutach)

d) jak długo będzie jechał samochód z miejscowości $B$ do miejscowości $A$ . (Wynik zaokrąglij do pełnych minut)

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 4
Premium

Samochód poruszając się ze średnią prędkością $60\ \cfrac{km}{h}$ przejechał trasę w ciągu $2h\ 20min$ .

a) Jak szybko ten samochód pokonałby tę trasę, gdyby zwiększył szybkość do $80\ \cfrac{km}{h}$ ?

b) Podaj wzór funkcji i naszkicuj wykres tej funkcji, opisującej zależność szybkości samochodu od czasu podróży.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 5
Premium

Zasada dźwigni Archimedesa głosi, że jeżeli na dźwigni umieścimy dwa przedmioty tak, że będą one w równowadze, to ciężary tych przedmiotów są odwrotnie proporcjonalne do ich odległości od punktu podparcia dźwigni.

Dany jest odważnik o masie $4\ kg$ . Punkt podparcia dźwigni znajduje się $20\ cm$ od tego odważnika. Napisz wzór funkcji, która uzależnia masę drugiego odważnika od jego odległości od punktu podparcia w ten sposób, aby odważniki pozostawały w równowadze.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 6
Premium

Zasada dźwigni Archimedesa głosi, że jeżeli na dźwigni umieścimy dwa przedmioty tak, że będą one w równowadze, to ciężary tych przedmiotów są odwrotnie proporcjonalne do ich odległości od punktu podparcia dźwigni.

a) W jakim miejscu należy ustawić punkt podparcia dźwigni o długości $80\ cm$ , tak aby dwa odważniki o masie $3\ kg$ oraz $2\ kg$ umieszczone na końcach dźwigni pozostały w równowadze?

b) Jak długa musiałaby być dźwignia, aby te same odważniki pozostały w równowadze, gdy punkt podparcia znajdowałby się w odległości $60\ cm$ od lżejszego odważnika?