Rozszerzanie wyrażeń wymiernych.

Rozszerzanie wyrażeń wymiernych polega na przemnożeniu licznika i mianownika przez to samo, niezerowe wyrażenie.

Wzór: Rozszerzanie wyrażeń wymiernych.

\cfrac{W(x)}{P(x)} = \cfrac{W(x) * Q(x)}{ P(x) * Q(x)}

gdzie  Q(x) \neq 0

 W(x), P(x), Q(x) - to wielomiany.

Przykład 1

Mnożymy licznik i mianownik przez (x+3):

\cfrac{x+2}{2-x} = \cfrac{(x+3) * (x+2)}{(x+3) * (2-x)}

Mnożymy licznik i mianownik przez 2:

\cfrac{x+1}{x^3+1}=\cfrac{2 * (x+1)}{2 * (x^3+1)}=\cfrac{2x+2}{2x^3+2}

Skracanie wyrażeń wymiernych.

Skracanie wyrażenia wymiernego polega na podzieleniu licznika i mianownik przez to samo niezerowe wyrażenie.

Wzór: Skracanie wyrażenia wymiernego.

\cfrac{W(x)}{P(x)} = \cfrac{W(x) \div Q(x)}{ P(x) \div Q(x)}

gdzie  Q(x) \neq 0

Przykład 2
  • Skracamy ułamek:

\cfrac{2}{4} = \cfrac{2 \div 2}{4 \div 2} = \cfrac{1}{2}

  • Dzielimy licznik i mianownik przez x+1:

 \cfrac{x^2-1}{x^2+2x+1} = \cfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} = \cfrac{x -1}{x+1}

 

Dodawanie wyrażeń wymiernych.

Wzór: Dodawanie wyrażeń wymiernych.

\cfrac{W(x)}{P(x)} + \cfrac{Z(x)}{P(x)} = \cfrac{W(x) + Z(x)}{P(x)}

UWAGA!

Zauważ, że dodajemy wyrażenia wymierne o tym samym mianowniku P(x) analogicznie jak przy dodawaniu ułamków liczbowych.

Przykład 3

\cfrac{1}{2}+\cfrac{3}{2}=\cfrac{1+3}{2}=\cfrac{4}{2}=2

\cfrac{x+1}{x}+\cfrac{1-x}{x}=\cfrac{x+1+1-x}{x}=\cfrac{2}{x}

UWAGA!

Jeżeli dodajemy wyrażenia wymierne o różnych mianownikach, należy je rozszerzyć lub skrócić, tak aby uzyskać takie same mianowniki dodawanych wyrażeń.

Przykład 4

\cfrac{5}{3}+\cfrac{3}{2}=\cfrac{5* 2}{3 * 2}+\cfrac{3 * 3}{2 * 3}=\cfrac{10}{6}+\cfrac{9}{6}=\cfrac{19}{6}

Odejmowanie wyrażeń wymiernych.

Wzór: Odejmowanie wyrażeń wymiernych.

\cfrac{W(x)}{P(x)} - \cfrac{Z(x)}{P(x)} = \cfrac{W(x) - Z(x)}{P(x)}

UWAGA!

Zauważ, że odejmujemy wyrażenia wymierne o tym samym mianowniku P(x).

Przykład 5

\cfrac{1}{2}-\cfrac{3}{2}=\cfrac{1-3}{2} = \cfrac{-2}{2} = -1

\cfrac{x+1}{x}-\cfrac{1-x}{x}=\cfrac{(x+1)-(1-x)}{x}=\cfrac{x+1-1+x}{x}=\cfrac{2x}{x}=2

UWAGA!

Jeżeli odejmujemy wyrażenia wymierne o różnych mianownikach, należy je rozszerzyć lub skrócić, tak aby uzyskać identyczne mianowniki odejmowanych wyrażeń.

Przykład 6

\cfrac{5}{3} - \cfrac{3}{2} = \cfrac{5* 2}{3 * 2} - \cfrac{3  * 3}{2 * 3} = \cfrac{10}{6} - \cfrac{9}{6} = \cfrac{1}{6}

Mnożenie wyrażeń wymiernych.

Gdy mnożymy dwa wyrażenia wymierne przez siebie, to mnożymy licznik pierwszego wyrażenia przez licznik drugiego, i  podobnie mianownik pierwszego mnożymy przez mianownik drugiego.

Wzór: Mnożenie wyrażeń wymiernych.

\cfrac{W(x)}{P(x)} * \cfrac{Z(x)}{Q(x)} = \cfrac{W(x) * Z(x)}{P(x) * Q(x)}

Przykład 7

\cfrac{1}{2} * \cfrac{3}{2} = \cfrac{1 * 3}{2 * 2} = \cfrac{3}{4}

\cfrac{x+1}{x} * \cfrac{1-x}{x} = \cfrac{(x + 1) * (1 -  x)}{x * x} = \cfrac{x - x^2 + 1 - x}{x^2} = \cfrac{1 - x^2}{x^2}

Dzielenie wyrażeń wymiernych.

Dzielenie wyrażeń wymiernych polega na pomnożeniu przez wyrażenie odwrotne.

Wzór: Dzielenie wyrażeń wymiernych.

\cfrac{W(x)}{P(x)} \div \cfrac{Z(x)}{Q(x)} = \cfrac{W(x)}{P(x)} * \cfrac{Q(x)}{Z(x)}

Przykład 8

\cfrac{1}{2} \div \cfrac{3}{2} = \cfrac{1}{2} * \cfrac{2}{3} = \cfrac{1 * 2}{2 * 3} = \cfrac{2}{6}=\cfrac{1}{3}

\cfrac{x+1}{x} \div \cfrac{1-x}{x} = \cfrac{x+1}{x} *  \cfrac{x}{1-x}=\cfrac{(x + 1) * x}{x * (1 -x)} =  \cfrac{x+1}{1-x}


Zadanie 1

Sprowadź wyrażenie  \cfrac{x^2-2x+1}{x^2-4}* \cfrac{x+2}{x-1}+\cfrac{1}{x-2} do najprostszej postaci.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Wykonaj działania:

\cfrac{x+3}{x}-\cfrac{x-7}{2}+\cfrac{4}{x}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Sprowadź wyrażenie po lewej stronie równania do najprostszej postaci a następnie rozwiąż to równanie.

\cfrac{2x-6}{-3x-2}-\cfrac{3x-5}{x}=1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Zasada dźwigni Archimedesa głosi, że jeżeli na dźwigni umieścimy dwa przedmioty tak, że będą one w równowadze, to ciężary tych przedmiotów są odwrotnie proporcjonalne do ich odległości od punktu podparcia dźwigni.

 

 

a) W jakim miejscu należy ustawić punkt podparcia dźwigni o długości 80\ cm, tak aby dwa odważniki o masie 3\ kg oraz 2\ kg umieszczone na końcach dźwigni pozostały w równowadze?

b) Jak długa musiałaby być dźwignia, aby te same odważniki pozostały w równowadze, gdy punkt podparcia znajdowałby się w odległości 60\ cm od lżejszego odważnika?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Zapisz wyrażenie w postaci ilorazu dwóch wielomianów:  \cfrac{x-3}{2-x}+\cfrac{x+6}{x-1}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Jeżeli \cfrac{2x+1}{x+2}=\cfrac{4x^2+4x+1}{B} to B jest równe:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

Wynikiem działania  \cfrac{x+7}{x-3}-\cfrac{x+2}{x-5} jest:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Wynikiem działania \cfrac{x}{x+7}:\cfrac{1}{2x+14} jest:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Wynikiem działania \cfrac{2}{x-1} * \cfrac{3x+6}{5x} jest:

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

2 komentarze

  1. Default avatar
    Wisnia2332282 18.06.2017 15:13

    W końcu się tego nauczyłem. Można wręcz napisać, że zostało to napisane dla "tłuka" XD

  2. Default avatar
    Eszte 27.04.2018 21:57

    Rozwiąż proste równania wymierne
    1) x^+2x-3/x^-4*x^+4/x^+4x+4/x^+6x+9=
    2) 2x^+5x-3/10x-20:4x^-1/3x-6=
    3) 2-1/x=x/x+2=

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz