Równania wymierne

Co to jest równanie wymierne?

Równanie wymierne to równanie postaci $\cfrac{W(x)}{P(x)} = 0$ , gdzie $W(x)$ i $P(x) \neq 0$ są wielomianami przynajmniej pierwszego stopnia.

Przykład

$\cfrac{x^2+2x+1}{x} = 0$

Przykład

Sprawdź czy $2$ i $-3$ są rozwiązaniami równania wymiernego $\cfrac{x^2 - x -2}{x+3} = 0$ .

Wyznaczamy dziedzinę wyrażenia wymiernego - mianownik nie może być zerem:

$x+3\neq 0$

$x \neq -3$

Podstawiamy $x=2$ do lewej strony równania:

$\cfrac{2^2 - 2 - 2}{2 + 3} = \cfrac{4 - 2 - 2}{5} = \cfrac{0}{5} = 0$

Liczba ta spełnia to równanie, czyli jest rozwiązaniem.

Ponieważ $-3$ nie należy do dziedziny równania, to nie może być jego rozwiązaniem.

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Przykłady równań wymiernych

UWAGA!

Aby rozwiązać równanie wymierne $\cfrac{W(x)}{P(x)} = 0$ korzystamy z równoważności

$\cfrac{W(x)}{P(x)} = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $W(x) = 0$ i jednocześnie $P(x) \neq 0$

Innymi słowy ułamek jest równy zero, jeżeli licznik $W(x)$ jest zero, ale mianownik $P(x)$ musi być niezerowy.

Przykład

Rozwiąż równanie $\cfrac{x^2+2x+1}{x} = 0$ .

$\cfrac{x^2+2x+1}{x}=0$

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest $x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$ . Przyrównujemy licznik do zera.

$x^2+2x+1=0$

Ze wzoru skróconego mnożenia mamy:

$(x+1)^2 = 0$

zatem

$x + 1 = 0$

$x = -1$

Otrzymaliśmy wynik, który jest zgodny z dziedziną $x \neq 0$ .

UWAGA!

Niekiedy można skrócić licznik i mianownik, jeżeli wielomiany w liczniku i mianowniku mają wspólne czynniki.

Należy pamiętać, aby zawsze wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego.

Przykład

Rozwiąż równanie $\cfrac{x^2 - 9}{2x^2 + 6x} = 0$ .

Wyznaczamy dziedzinę:

$2x^2 + 6x \neq 0$

$2x(x + 3) \neq 0$

$x \neq 0 \wedge x + 3 \neq 0$

$x \neq 0 \wedge x \neq -3$

$x \in \mathbb{R} \setminus \{ -3, 0 \}$

Przekształcamy równanie stosując dla licznika wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, a dla mianownika wyłączamy $2x$ przed nawias

$\cfrac{(x-3)(x+3)}{2x(x + 3)} = 0$

Upraszczamy licznik z mianownikiem:

$\cfrac{x-3}{2x} = 0$

Ułamek jest równy $0$ , gdy licznik jest równy $0$ :

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Otrzymany wynik należy do dziedziny wyrażenia wymiernego i spełnia równanie, zatem jest rozwiązaniem.

Przykład

Rozwiąż równanie $\cfrac{x^3+4x^2+3x}{x^2+12x+35}=0$ .

Wyznaczamy dziedzinę wyrażenia wymiernego:

$x^2 + 12x + 35 \neq 0$

Korzystamy ze wzoru na detlę, aby znaleźć pierwiastki trójmianu.

$\Delta = {12}^2 - 4 * 1 * 35 = 144 - 140 = 4$

Równanie posiada pierwiastki:

$x_1 = \cfrac{ - 12 - \sqrt{4} }{2 * 1} = \cfrac{-12 -2}{2} = -7$

$x_2 = \cfrac{ - 12 + \sqrt{4} }{2 * 1} = \cfrac{-12 +2}{2} = -5$

zatem:

$x \neq -7 \wedge x \neq -5$

lub inaczej

$x \in \mathbb{R} \setminus \{ -7, -5 \}$

Przyrównujemy licznik do zera:

$x^3 + 4x^2 + 3x = 0$

$x(x^2+4x +3) = 0$

Iloczyn jest zerem, jeżeli którykolwiek z jego czynników jest zerem.

$x = 0 \vee x^2 + 4x + 3 = 0$

Zajmijmy się równaniem kwadratowym:

$x^2+4x + 3 = 0$

Liczymy wyróżnik delta, żeby znaleźć pierwiastki trójmianu

$\Delta = 4^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4$

równanie posiada pierwiastki

$x_1 = \cfrac{ - 4 - \sqrt{4} }{2 * 1} = \cfrac{-4 -2}{2} = -3$

$x_2 = \cfrac{ - 4 + \sqrt{4} }{2 * 1} = \cfrac{-4 +2}{2} = -1$

zatem

$x = -3 \vee x = -1$

uwzględniając $x = 0 \vee x^2 + 4x + 3 = 0$ otrzymujemy

$x = 0 \vee x = -3 \vee x = -1$

Znalezione rozwiązania należą do dziedziny wyrażenia $x \in \mathbb{R} \setminus \{ -7, -5 \}$ , stąd otrzymujemy rozwiązania:

$x= -3$ lub $x=-1$ lub $x=0$

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Zadanie 1

Rozwiąż równanie:

$\cfrac{x-9}{5-x}=\cfrac{3}{8}$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 2

Rozwiąż równanie:

$\cfrac{x+2}{x-3}=x$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
1 komentarz

Zadanie 3

Równanie
$\cfrac{x^2 + 2x}{x^2 -4} = 0$

Rozwiązanie video

Matura podstawowa
0 komentarzy
CKE

Zadanie 4

Rozwiązaniem równania $\cfrac{x-1}{x+2}=\cfrac{1}{3}$ jest liczba:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 5

Ile rozwiązań ma równanie $\cfrac{x^2+1}{x+1}=-3$ ?

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 6

Rozwiązaniem równania $\cfrac{x-3}{x+6}=\cfrac{1}{3}$ jest liczba:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 7

Rozwiązaniem równania $\cfrac{x+1}{x+3}=\cfrac{4}{3}$ jest liczba:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 8

Rozwiązaniem równania $\cfrac{x+3}{x+2}=2$ jest liczba:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 9

Sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie:

$\cfrac{x^2-x-6}{x^2+7x+10}$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 10

Rozwiąż równanie:

$\cfrac{x^2+3x-18}{x^2+8x+12}=\cfrac{1}{2}$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 11

Rozwiąż równanie:

$\cfrac{x^2}{x^2-4}* \cfrac{x+2}{x-1}=1$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
3 komentarze

Zadanie 12

Równanie $\frac{(x-1)(x+2)}{x-3} = 0$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy
CKE

Zadanie 13

Rozwiąż równanie:

$\cfrac{x+2}{10x-2}=\cfrac{1}{x+2}$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 14
Premium

Rozwiąż równanie:

$\cfrac{5x+1}{2x}=\cfrac{3x}{5x-1}$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 15
Premium

Rozwiąż równanie:

$\cfrac{3x+1}{3x}=\cfrac{2x}{3x-1}$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 16
Premium

Liczba rozwiązań równania $\cfrac{x-5}{(x+1)(x-6)}=0$ jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 17
Premium

Liczba rozwiązań równania $\cfrac{(x-2)(x+3)}{(1-x)(x+7)}=0$ jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 18
Premium

Liczba rozwiazań równania $\cfrac{(x-3)(x-5)(x-6)}{x^2-9x+18}=0$ wynosi

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 19
Premium

Sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie po lewej stronie równania a następnie rozwiąż je.

$\cfrac{x^2-5x-6}{x^2-3x-18}+\cfrac{5}{x+3}=\cfrac{5}{6}$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
2 komentarze

Zadanie 20
Premium

Sprowadź wyrażenie po lewej stronie równania do najprostszej postaci a następnie rozwiąż to równanie.

$\cfrac{2x-6}{-3x-2}-\cfrac{3x-5}{x}=1$

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
0 komentarzy

Zadanie 21
Premium

Sprowadź wyrażenie po lewej stronie równania do najprostszej postaci, a następnie rozwiąż równanie.

$\cfrac{3x+6}{x^2-3x-10}+\cfrac{4}{x-5}=\cfrac{1}{5}$

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 22
Premium

Rozwiąż równanie:

$\cfrac{\sqrt{x^2-4x+4}}{2x-1}-\cfrac{4x+1}{x+5}=\cfrac{1}{6}$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
3 komentarze

Zadanie 23
Premium

Jeżeli $\cfrac{2x+1}{x+2}=\cfrac{4x^2+4x+1}{B}$ to $B$ jest równe:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 24
Premium

Rozwiąż równanie w zależności od parametru $a$ :

$\cfrac{x}{x-a}-\cfrac{x+a}{x}=\cfrac{2a}{x^2}$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
3 komentarze

Zadanie 25
Premium

Dwóch pracowników pracując razem wykonuje pewną pracę w ciągu dwóch godzin. Pierwszy pracownik wykonuje pracę wolniej niż drugi. Gdyby miał on wykonać całą pracę samodzielnie, to pracowałby o 3 godziny dłużej niż drugi pracownik. W jakim czasie każdy z pracowników jest w stanie wykonać całą pracę samodzielnie?

Zobacz rozwiązanie

Matura rozszerzona
2 komentarze

Zadanie 26
Premium

Zasada dźwigni Archimedesa głosi, że jeżeli na dźwigni umieścimy dwa przedmioty tak, że będą one w równowadze, to ciężary tych przedmiotów są odwrotnie proporcjonalne do ich odległości od punktu podparcia dźwigni.

a) W jakim miejscu należy ustawić punkt podparcia dźwigni o długości $80\ cm$ , tak aby dwa odważniki o masie $3\ kg$ oraz $2\ kg$ umieszczone na końcach dźwigni pozostały w równowadze?

b) Jak długa musiałaby być dźwignia, aby te same odważniki pozostały w równowadze, gdy punkt podparcia znajdowałby się w odległości $60\ cm$ od lżejszego odważnika?