Nierówności wymierne
Nierównością wymierną nazywamy nierówność jednej z następujących postaci:
}{P(x)} > 0})
}{P(x)} \geq 0})
}{P(x)} < 0})
}{P(x)} \leq 0})
gdzie })
 \neq 0})
Tak naprawdę, rozwiązywanie nierówności wymiernych, sprowadza się do rozwiązywania nierówności wielomianowych.
Dla nierówności \cdot P(x)>0})
Dla nierówności \cdot P(x) \geq 0})
Dla nierówności \cdot P(x)<0})
Dla nierówności \cdot P(x) \leq 0})
Bardzo ważne jest, aby rozwiązując nierówności wymierne, pamiętać o wyznaczeniu dziedziny wyrażenia wymiernego.
Poniżej kilka przykładów:
Rozwiąż nierówność:
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny tego wyrażenia. Mianownik nie może być równy 
Dziedziną jest:
Po wyznaczeniu dziedziny przechodzimy do nierówności wielomianowej (mnożymy licznik i mianownik):
>0})
Aby odczytać przedział w którym x jest większe od zera powinniśmy narysować wykres wielomianu i na tej podstawie wybrać te przedziały, które są nad osią OX. W tym przypadku wyrażenie sprowadza się do wykresu paraboli z ramionami skierowanymi do góry bo po wymnożeniu współczynnik przy 
\cup (0,+\infty)})
Wyznaczony przedział znajduje się w dziedzinie, zatem jest rozwiązaniem nierówności.
Rozwiąż nierówność:
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny powyższego wyrażenia. Mianownik nie może być zerem, dlatego:
Dziedziną jest zbiór:
Sprowadzamy nierówność wymierną do nierówności wielomianowej.
Przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych, nie możemy mnożyć obustronnie nierówności przez mianownik wyrażenia wymiernego, jeżeli nie wiemy jaki on ma znak, czy dodatni czy ujemny. Jeżeli znak mianownika byłby ujemny, to po pomnożeniu nierówności przez ten mianownik, musielibyśmy zmienić zwrot nierówności.
Ponieważ nie możemy mnożyć obustronnie nierówności przez mianownik, to postępujemy w inny sposób. Wszystko przenosimy na lewą stronę, a następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika:
}{x+5}>0})
}{x+5}>0})
Mnożymy obustronnie nierówność przez 
Sprowadzamy nierówność wymierną do nierówności wielomianowej. Mnożymy licznik i mianownik:
(x+5)<0})
Wykresem tej nierówności jest parabola z ramionami skierowanymi do góry. Dlatego przedział w którym x jest mniejszy od zera znajduje się pomiędzy miejscami zerowymi.
})
Otrzymany przedział znajduje się w dziedzinie, dlatego jest rozwiązaniem nierówności 
Rozwiąż nierówność:
Wyznaczamy dziedzinę. Mianownik żadnego z ułamków nie może być równy zero.
Przenosimy wszystko na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
(x+3)+2(x-4)^2-(x-4)(x+3)}{2(x-4)(x+3)}\leq 0})
+2(x^2-8x+16)-(x^2+3x-4x-12)}{2(x-4)(x+3)}\leq 0})
}{2(x-4)(x+3)}\leq 0})
(x+3)}\leq 0})
Ułamek zamieniamy na iloczyn licznika i mianownika:
(x-4)(x+3) \leq 0})
(x-4)(x+3) \leq 0})
Każdy z czynników iloczynu przyrównujemy do zera, aby wyznaczyć miejsca zerowe:
^2-4\cdot 3\cdot 56<0})
Wyróżnik jest ujemny, zatem równanie 
Zaznaczamy wyznaczone miejsca zerowe na osi:
Rysujemy przybliżony wykres wielomianu po lewej stronie nierówności:
![x \in [-3,4]](https://images.matmana6.pl/cgi-bin/mathtex.cgi?\png \definecolor{mgray}{RGB}{47,47,47}\color{mgray}{x \in [-3,4]})
Sprawdzamy zgodność z dziedziną. Musimy odrzucić te argumenty, które nie należą do dziedziny. Otrzymujemy zatem przedział:
})
Zobacz rozwiązanieZnajdź wszystkie liczby rzeczywiste
takie, że:
.
Zobacz rozwiązanieRozwiąż nierówność:
.
Zobacz rozwiązanieFunkcja
jest przesunięciem o wektor
funkcji
. Rozwiąż nierówność:
.
Przeczytaj także:
- Dziedzina wyrażenia wymiernego
- Działania na wyrażeniach wymiernych
- Równania wymierne
- Funkcja f(x)=a/x (homograficzna)
- Proporcjonalność odwrotna
COMMENT_CONTENT