Nierówności wymierne.

Definicja: Nierówność wymierna

Nierównością wymierną nazywamy nierówność jednej z następujących postaci:

\cfrac{W(x)}{P(x)} > 0,

\cfrac{W(x)}{P(x)} \geq  0,

\cfrac{W(x)}{P(x)} < 0,

\cfrac{W(x)}{P(x)} \leq 0,

gdzie W(x) i P(x) \neq 0 są wielomianami.

Tak naprawdę, rozwiązywanie nierówności wymiernych, sprowadza się do rozwiązywania nierówności wielomianowych.

Nierówność \cfrac{W(x)}{P(x)} > 0 jest równoważna nierówności W(x)* P(x)>0, gdzie P(x) \neq 0.

Nierówność \cfrac{W(x)}{P(x)} \geq 0 jest równoważna nierówności W(x)* P(x) \geq 0, gdzie P(x) \neq 0.

Nierówność \cfrac{W(x)}{P(x)} < 0 jest równoważna nierówności W(x)* P(x)<0, gdzie P(x) \neq 0.

Nierówność \cfrac{W(x)}{P(x)} \leq 0 jest równoważna nierówności W(x)* P(x) \leq 0, gdzie P(x) \neq 0.

 

Bardzo ważne jest, aby rozwiazując nierówności wymierne, pamiętać o wyznaczeniu dziedziny wyrażenia wymiernego.

W jaki sposób rozwiązujemy nierówności wielomianowe, możesz przeczytać w lekcji "Równania i nierówności wielomianowe".

Poniżej kilka przykładów:

 

Przykład 1

Rozwiąż nierówność:

\cfrac{x+1}{x}>0

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny tego wyrażenia. Mianownik nie może być równy 0 dlatego:

x \neq 0

Dziedziną jest:

D=\mathbb{R}\backslash\{0\}

Po wyznaczeniu dziedziny przechodzimy do sprowadzenia nierówności wymiernej do nierówności wielomianowej (mnożymy licznik i mianownik):

x(x+1)>0

x\in (-\infty,-1)\cup (0,+\infty)

 Wyznaczony przedział znajduje się w dziedzinie, zatem jest rozwiązaniem nierówności.

 

Przykład 2

Rozwiąż nierówność:

\cfrac{2x-4}{x+5}>3

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny powyższego wyrażenia. Mianownik nie może być zerem, dlatego:

x+5 \neq 0

x\neq -5

Dziedziną jest zbiór:

D=\mathbb{R}\backslash\{-5\}

Sprowadzamy nierówność wymierną do nierówności wielomianowej.

WAŻNE!

Przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych, nie możemy mnożyć obustronnie nierówności przez mianownik wyrażenia wymiernego, jeżeli nie wiemy jaki on ma znak, czy dodatni czy ujemny. Jeżeli znak mianownika byłby ujemny, to po pomnożeniu nierówności przez ten mianownik, musielibyśmy zmienić zwrot nierówności.

 

Ponieważ nie możemy mnożyć obustronnie nierówności przez mianownik, to postępujemy w inny sposób. Wszystko przenosimy na lewą stronę, a następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika:

\cfrac{2x-4}{x+5}-3>0

\cfrac{2x-4}{x+5}-\cfrac{3(x+5)}{x+5}>0

\cfrac{2x-4-3(x+5)}{x+5}>0

\cfrac{2x-4-3x-15}{x+5}>0

\cfrac{-x-19}{x+5}>0

Mnożymy obustronnie nierówność przez -1, pamiętając o zmianie zwrotu nierówności:

\cfrac{x+19}{x+5}<0

Sprowadzamy nierówność wymierną do nierówności wielomianowej. Mnożymy licznik i mianownik:

(x+19)(x+5)<0

x \in (-19,-5)

 Otrzymany przedział znajduje się w dziedzinie, dlatego jest rozwiązaniem  nierówności \cfrac{2x-4}{x+5}>3.

 

Przykład 3

Rozwiąż nierówność:

\cfrac{x+2}{x-4}+\cfrac{x-4}{x+3} \leq \cfrac{1}{2}

Wyznaczamy dziedzinę. Mianownik żadnego z ułamków nie może być równy zero.

x-4 \neq 0 x+3 \neq 0

x \neq 4 x \neq -3

 D=\mathbb{R}\backslash \{-3,4\}

Przenosimy wszystko na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:

\cfrac{x+2}{x-4}+\cfrac{x-4}{x+3}-\cfrac{1}{2} \leq 0

\cfrac{2(x+2)(x+3)+2(x-4)^2-(x-4)(x+3)}{2(x-4)(x+3)}\leq 0

\cfrac{2(x^2+3x+2x+6)+2(x^2-8x+16)-(x^2+3x-4x-12)}{2(x-4)(x+3)}\leq 0

\cfrac{2x^2+6x+4x+12+2x^2-16x+32-x^2-3x+4x+12)}{2(x-4)(x+3)}\leq  0

\cfrac{3x^2-5x+56}{2(x-4)(x+3)}\leq   0

Ułamek zamieniamy na iloczyn licznika i mianownika:

2(3x^2-5x+56)(x-4)(x+3) \leq   0

(3x^2-5x+56)(x-4)(x+3) \leq   0

Każdy z czynników iloczynu przyrównujemy do zera, aby wyznaczyć miejsca zerowe:

3x^2-5x+56 =    0

\Delta=(-5)^2-4* 3* 56<0

Wyróżnik jest ujemny, zatem równanie 3x^2-5x+56 =    0 nie  ma rozwiązań.

x-4=0

x=4

 

x+3=0

x=-3

Zaznaczamy wyznaczone miejsca zerowe na osi:

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu po lewej stronie nierówności:

x \in [-3,4]

Sprawdzamy zgodność z dziedziną. Musimy odrzucić te argumenty, które nie należą do dziedziny. Otrzymujemy zatem przedział:

x \in (-3,4)


Zadanie 1

Funkcja f jest przesunięciem o wektor \vec{v}=[-\cfrac{1}{2},-3] funkcji g(x)=\cfrac{1}{2x}. Rozwiąż nierówność:

f(x)>f(x-3).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Rozwiąż nierówność:

\cfrac{2x^4+2x^2-40}{6x^2+17x+12}<0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste x takie, że:

3x+5 \in [3,9].

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz