1. Hiperbola
Drukuj

Funkcja homograficzna

Definicja: Funkcja homograficzna.

Funkcja homograficzna to funkcja f określona wzorem

f(x) = \cfrac{ax+b}{cx+d}

gdzie ad-bc\neq 0 i c\neq 0.

UWAGA!

Szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej jest funkcja postaci

f(x)=\cfrac{a}{x}

i tą funkcję omówimy poniżej.

Dziedziną funkcji homograficznej f(x)=\cfrac{a}{x} jest zbiór \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}.

Zbiorem wartości (przeciwdziedziną) funkcji f(x)=\cfrac{a}{x} jest \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}.

Wykresem funkcji y = \cfrac{a}{x} jest hiperbola, która posiada dwie asymptoty:

  • prosta y = 0 jest asymptotą poziomą
  • prosta x = 0 jest asymptotą pionową

Monotoniczność funkcji homograficznej f(x)=\cfrac{a}{x}.

Dla a > 0 funkcja homograficzna jest malejąca w przedziałach (-\infty, 0) i (0, +\infty).
Spójrz na rysunek poniżej.

Dla a < 0 funkcja homograficzna jest rosnąca w przedziałach (-\infty, 0) i (0, +\infty).
Spójrz na rysunek poniżej


Wykres funkcji homograficznej dla różnych a dodatnich:

Wykres funkcji homograficznej dla różnych a ujemnych:


Wnioski:
  • Zmniejszanie wartości |a| powoduje zbliżenie się hiperboli do osi układu.
  • Zwiększanie wartości |a| powoduje oddalenie się hiperboli do osi układu.
  • Dla a dodatnich wykres funkcji leży w ćwiartce I i III układu współrzędnych.
  • Dla a ujemnych wykres funkcji leży w ćwiartce II i IV układu współrzędnych.

Zadanie 1

 

Powyżej przedstawiony jest wykres funkcji y = \cfrac{6}{x}. Zaznacz prawdziwe zdanie. Funkcja przedstawiona na wykresie jest:

Zobacz rozwiązanie
  • Matura podstawowa
  • 0 komentarzy

Zadanie 2

Wskaż wykres funkcji f(x)=\cfrac{2}{x}:

Zobacz rozwiązanie
  • Matura podstawowa
  • 1 komentarz

Zadanie 3

Dany jest prostokąt o polu 40 \ cm^2 . Wskaż funkcję, opisującą zmianę długości jednego boku w zależności od zmiany długości drugiego boku, jeżeli pole prostokąta ma pozostać nie zmienione.

Zobacz rozwiązanie
  • Matura podstawowa
  • 0 komentarzy

Zadanie 4
Premium

Dwóch pracowników pracując razem wykonuje pewną pracę w ciągu dwóch godzin. Pierwszy pracownik wykonuje pracę wolniej niż drugi. Gdyby miał on wykonać całą pracę samodzielnie, to pracowałby o 3 godziny dłużej niż drugi pracownik. W jakim czasie każdy z pracowników jest w stanie wykonać całą pracę samodzielnie?

Zobacz rozwiązanie
  • Matura rozszerzona
  • 2 komentarze

Zadanie 5
Premium

Funkcja f jest przesunięciem o wektor \vec{v}=[-\cfrac{1}{2},-3] funkcji g(x)=\cfrac{1}{2x}. Rozwiąż nierówność:

f(x)>f(x-3).

Zobacz rozwiązanie
  • Matura rozszerzona
  • 0 komentarzy

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz