Funkcja homograficzna.

Definicja: Funkcja homograficzna.

Funkcję f określoną wzorem

f(x) = \cfrac{ax+b}{cx+d}

gdzie ad-bc\neq 0 i c\neq 0 nazywamy funkcją homograficzną.

UWAGA!

Szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej jest funkcja postaci 

f(x)=\cfrac{a}{x}

i tą funkcję omówimy poniżej.

Dziedziną funkcji f(x)=\cfrac{a}{x} jest zbiór \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}.

Zbiorem wartości (przeciwdziedziną) funkcji f(x)=\cfrac{a}{x} jest \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}.

 

Wykresem funkcji y = \cfrac{a}{x} jest hiperbola, która posiada dwie asymptoty:

  • prosta y = 0 jest asymptotą poziomą
  • prosta x = 0 jest asymptotą pionową

 

Monotoniczność funkcji homograficznej f(x)=\cfrac{a}{x}.

  • Dla a > 0 funkcja homograficzna jest malejąca w przedziałach (-\infty, 0) i (0, +\infty).
    Spójrz na rysunek poniżej.


 

  • Dla a < 0 funkcja homograficzna jest rosnąca w przedziałach (-\infty, 0) i (0, +\infty).
    Spójrz na rysunek poniżej


 

Wykres funkcji homograficznej dla różnych a dodatnich:

Wykres funkcji homograficznej dla różnych a ujemnych:


Wnioski:  
  • Zmniejszanie wartości |a| powoduje zbliżenie się hiperboli do osi układu.
  • Zwiększanie wartości |a| powoduje oddalenie się hiperboli do osi układu.
  • Dla a dodatnich wykres funkcji leży w ćwiartce I i III układu współrzędnych.
  • Dla a ujemnych wykres funkcji leży w ćwiartce II i IV układu współrzędnych.

 

 

Wykres funkcji homograficznej - hiperbola.

Wykresem funkcji f(x) = \cfrac{a}{x} jest hiperbolą składającą się niejako z dwóch części. Aby narysować jej przybliżony wykres, wyznaczamy kilka punktów tej hiperboli dla x>0 i x<0.

Następnie rysujemy hiperbolę, której asymptotami są osie układu. Im więcej zaznaczymy punktów, które należą do wykresu funkcji, tym bardziej dokładny będzie jej wykres.

 

 

Przykład 1

Narysuj wykres y = \cfrac{-2}{x}.

 

Wyznaczamy punkty należące do wykresu tej funkcji.

  • Jeżeli x=2 to y=\cfrac{-2}{2}=-1.

Zatem do wykresu funkcji należy punkt:

 A_1 = (2, -1)

  • Podobnie dla x=1 otrzymujemy y=\cfrac{-2}{1}=-2

B_1 =(1, -2)

Teraz wyznaczmy punkty dla x<0.

  • Jeżeli x=-2 to y=\cfrac{-2}{-2}=1.

A_2=(-2, 1)

  • Jeżeli x=-1 to y=\cfrac{-2}{-1}=2.

B_2 = (-1, 2)

Nanosimy punkty do układu współrzędnych

 

Rysujemy pierwszą część hiperboli przechodzącą przez punkty A_1, B_1 przyjmując osie układu za asymptoty

Rysujemy drugą część hiperboli przechodzącą przez punkty A_2, B_2 przyjmując osie układu za asymptoty. Podpisujemy wykres.

 

 

 

UWAGA!

Aby uzyskać większą dokładność wykresu powinniśmy zwiększyć ilość wyliczonych punktów.

Proporcjonalność odwrotna.

Definicja: Proporcjonalność odwrotna

Proporcjonalność odwrotna to taka zależność między dwiema zmiennymi wielkościami x i y, w której iloczyn tych wielkości jest stały. Czyli:

x * y=a

gdzie

a \in \mathbb{R}

Wielkości  x i  y odwrotnie proporcjonalne.

Z powyższego wzoru możemy obliczyć x w zależności od y, wtedy:

x=\cfrac{a}{y}

oraz y w zależności od x, wtedy:

y=\cfrac{a}{x}

Zauważ że ostatni wzór to wzór funkcji homograficznej.

 

Wniosek:  

Wielkości odwrotnie proporcjonalne możemy opisywać za pomocą funkcji homograficznej.

 

Przykład 2

Weźmy dla przykładu podstawowy wzór fizyczny:

v=\cfrac{s}{t}.

Zakładając że droga (s) jest stała, prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do czasu. Np. jedzie samochód z miasta A do miasta B. Im szybciej jedzie, tym mniej czasu mu to zajmie. Odległość między tymi miastami się  nie zmienia, czyli droga (s) jest wielkością stałą.

 


Zadanie 1

Funkcja f jest przesunięciem o wektor \vec{v}=[-\cfrac{1}{2},-3] funkcji g(x)=\cfrac{1}{2x}. Rozwiąż nierówność:

f(x)>f(x-3).

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Dwóch pracowników pracując razem wykonuje pewną pracę w ciągu dwóch godzin. Pierwszy pracownik wykonuje pracę wolniej niż drugi. Gdyby miał on wykonać całą pracę samodzielnie, to pracowałby o 3 godziny dłużej niż drugi pracownik. W jakim czasie każdy z pracowników jest w stanie wykonać całą pracę samodzielnie?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Wskaż wykres funkcji f(x)=\cfrac{2}{x}:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Dany jest prostokąt o polu  40 \ cm^2 . Wskaż funkcję, opisującą zmianę długości jednego boku w zależności od zmiany długości drugiego boku, jeżeli pole prostokąta ma pozostać nie zmienione.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz