Średnia arytmetyczna

Przy opracowywaniu danych bardzo często stajemy przed koniecznością podania liczby charakteryzującej w jakiś sposób cały zbiór danych. Takie liczby nazywamy średnimi. Najpopularniejszą średnią jest średnia arytmetyczna.

Definicja: Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną $n$ liczb $x_1,\ x_2, ..., x_n \ \in \mathbb{R}$ jest:

$m=\cfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

Przykład 1

Średnią arytmetyczną liczb $1,\ 1,\ 4,\ 6$ jest

$m=\cfrac{1+1+4+6}{4}=3$

W przypadku, gdy mamy dane wartości $x_i$ i liczebności ich występowania $n_i$ wzór na średnią arytmetyczną przyjmuje postać

Definicja: Średnia arytmetyczna. (wersja rozbudowana)

Średnią arytmetyczną szeregu szczegółowego $(x_1, n_1),\ (x_2, n_2), ..., (x_k, n_k)$ jest:

$m=\cfrac{x_1* n_1+x_2* n_2+...+x_k* n_k}{n_1+n_2+...+n_k}$

gdzie:

$n_1+n_2+...+n_k=n$

$x_i \ \in \mathbf{R}$ - wartość

$n_i \ \in \mathbf{N}$ - liczebność wartości $x_i$

Przykład 2

Oblicz średnią ocenę ze sprawdzianu z matematyki mając histogram uzyskanych ocen

Odczytujemy oceny i ich liczebności z histogramu

$x_1 = 2 \quad n_1 = 1$

$x_2 = 3 \quad n_2 = 3$

$x_3 = 4 \quad n_3 = 3$

$x_4 = 5 \quad n_4 = 4$

Liczymy średnią zgodnie z definicją dla szeregu szczegółowego

$m=\cfrac{2* 1+3* 3+4* 3+5* 4}{1+3+3+4}=\cfrac{2+9+12+20}{11}=\cfrac{43}{11} \approx 4$

Średnia ocena ze sprawdzianu to w zaokrągleniu $4$ .

Przykład 3

Oblicz średni rozmiar butów drużyny piłkarskiej mając tabelę liczebności

$x_i$	42	42,5	43	44	45
$n_i$	4	2	7	2	3

Liczymy średnią zgodnie z definicją dla szeregu szczegółowego

$m=\cfrac{42* 4+42.5 * 2+43*7+44* 2+45* 3}{4+2+7+2+3}=\cfrac{168+85+301+88+135}{18}=\cfrac{777}{18}\approx43$

Średni rozmiar buta w przybliżeniu wynosi $43$ .

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Zadanie 1

Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na diagramie częstości.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
6 komentarzy

Zadanie 2

W tabeli zostały przedstawione oceny ze sprawdzianu z matematyki klasy III a. Oblicz średnią arytmetyczną ocen dla całej klasy.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 3

Średnia arytmetyczna liczb $3,\ 5,\ 7,\ x,\ 9$ jest równa $6$ . Oblicz $x$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
1 komentarz

Zadanie 4

Średnia arytmetyczna liczb $4,\ 7,\ 0,\ 1,\ 3,\ x$ jest równa $5$ . Oblicz $x$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
1 komentarz

Zadanie 5

Dla danych przedstawionych na wykresie oblicz:

a) medianę

b) średnią arytmetyczną

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 6

Jeżeli średnia arytmetyczna danych $2,3,x,6,9$ wynosi $3$ to:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 7

Średnia arytmetyczna danych przedstawionych na wykresie wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 8

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ . Różnicą tego ciągu jest liczba $r=-4$ , a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ , $a_5$ , $a_6$ , jest równa $16$ .
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę $k$ , dla której $a_k=-78$ .

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy
CKE

Zadanie 9
Premium

Nauczycielka matematyki Karola, wystawiając oceny na koniec semestru, oblicza średnią arytmetyczną wszystkich ocen, a następnie zaokrągla wynik do części całkowitych. Oceny Karola to $4,\ 3,\ 5,\ 3,\ 4,\ 1$ . Jaką najniższą ocenę musi dostać Karol z ostatniego sprawdzianu, żeby na koniec semestru otrzymać ocenę dobrą?

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
1 komentarz

Zadanie 10
Premium

Jeżeli kupimy $2\ kg$ jabłek oraz $3\ kg$ gruszek, to średnia cena kilograma owoców wyniesie $3,5\ zl$ , ale jeżeli kupimy $3\ kg$ jabłek oraz $2\ kg$ gruszek, to średnia cena kilograma owoców wzrośnie do $4\ zl$ . Oblicz ile kosztuje kilogram jabłek i kilogram gruszek.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 11
Premium

Średnia arytmetyczna liczb $3,\ 5,\ 7,\ x,\ 9$ jest równa $6$ . Oblicz $x$ , oraz medianę tych liczb.

Zobacz rozwiązanie

Matura podstawowa
0 komentarzy

Zadanie 12
Premium

Wiedząc, że

$1+\log_{2}{a}=\log_{2}{3}+\log_{2}{6}$

$\log_{3}{3b}=\log_{3}{24}-\log_{3}{2}$

$\log\cfrac{c}{5}=1-\log{2}$

oblicz średnią arytmetyczną liczb $a,\ b$ i $c$ , oraz ich średnią ważoną, jeżeli wagi wynoszą kolejno $2,3$ i $5$ .