Drukuj

Średnia arytmetyczna

Przy opracowywaniu danych bardzo często stajemy przed koniecznością podania liczby charakteryzującej w jakiś sposób cały zbiór danych. Takie liczby nazywamy średnimi. Najpopularniejszą średnią jest średnia arytmetyczna.

 

Definicja: Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną  n liczb x_1,\ x_2, ..., x_n \ \in \mathbb{R}  jest:

m=\cfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}

Przykład 1

Średnią arytmetyczną liczb 1,\ 1,\ 4,\ 6 jest

m=\cfrac{1+1+4+6}{4}=3

 

W przypadku, gdy mamy dane wartości x_i i liczebności ich występowania n_i wzór na średnią arytmetyczną przyjmuje postać

 

Definicja: Średnia arytmetyczna. (wersja rozbudowana)

Średnią arytmetyczną szeregu szczegółowego (x_1, n_1),\ (x_2, n_2), ..., (x_k, n_k) jest:

m=\cfrac{x_1* n_1+x_2* n_2+...+x_k* n_k}{n_1+n_2+...+n_k}

gdzie:

n_1+n_2+...+n_k=n

x_i \ \in \mathbf{R} - wartość

n_i \ \in \mathbf{N} - liczebność wartości x_i

Przykład 2

Oblicz średnią ocenę ze sprawdzianu z matematyki mając histogram uzyskanych ocen

Odczytujemy oceny i ich liczebności z histogramu

x_1 = 2 \quad n_1 = 1

x_2 = 3 \quad n_2 = 3

x_3 = 4 \quad n_3 = 3

x_4 = 5 \quad n_4 = 4

Liczymy średnią zgodnie z definicją dla szeregu szczegółowego

m=\cfrac{2* 1+3* 3+4* 3+5* 4}{1+3+3+4}=\cfrac{2+9+12+20}{11}=\cfrac{43}{11} \approx 4

Średnia ocena ze sprawdzianu to w zaokrągleniu 4.

 

Przykład 3

Oblicz średni rozmiar butów drużyny piłkarskiej mając tabelę liczebności

x_i 42 42,5 43 44 45
n_i 4 2 7 2 3

Liczymy średnią zgodnie z definicją dla szeregu szczegółowego

m=\cfrac{42* 4+42.5 * 2+43*7+44* 2+45* 3}{4+2+7+2+3}=\cfrac{168+85+301+88+135}{18}=\cfrac{777}{18}\approx43

Średni rozmiar buta w przybliżeniu wynosi 43.

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Zadanie 1


 

Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na diagramie częstości.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

W tabeli zostały przedstawione oceny ze sprawdzianu z matematyki klasy III a. Oblicz średnią arytmetyczną ocen dla całej klasy.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Średnia arytmetyczna liczb  3,\ 5,\ 7,\ x,\ 9 jest równa 6. Oblicz x.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Średnia arytmetyczna liczb 4,\ 7,\ 0,\ 1,\ 3,\ x jest równa 5. Oblicz x.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Dla danych przedstawionych na wykresie oblicz:

a) medianę

b) średnią arytmetyczną

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Jeżeli średnia arytmetyczna danych  2,3,x,6,9 wynosi 3   to:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

 

Średnia arytmetyczna danych przedstawionych na wykresie wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8
Premium

Nauczycielka matematyki Karola, wystawiając oceny na koniec semestru, oblicza średnią arytmetyczną wszystkich ocen, a następnie zaokrągla wynik do części całkowitych. Oceny Karola to  4,\ 3,\ 5,\ 3,\ 4,\ 1. Jaką najniższą ocenę musi dostać Karol z ostatniego sprawdzianu, żeby na koniec semestru otrzymać ocenę dobrą?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9
Premium

Jeżeli kupimy 2\ kg jabłek oraz 3\ kg gruszek, to średnia cena kilograma owoców wyniesie 3,5\ zl, ale jeżeli kupimy 3\ kg jabłek oraz 2\ kg gruszek, to średnia cena kilograma owoców wzrośnie do 4\ zl. Oblicz ile kosztuje kilogram jabłek i kilogram gruszek.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10
Premium

Średnia arytmetyczna liczb  3,\ 5,\ 7,\ x,\ 9 jest równa 6. Oblicz x, oraz medianę tych liczb.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11
Premium

Wiedząc, że  

1+\log_{2}{a}=\log_{2}{3}+\log_{2}{6}

\log_{3}{3b}=\log_{3}{24}-\log_{3}{2}

\log\cfrac{c}{5}=1-\log{2}

oblicz średnią arytmetyczną liczb a,\ b i c, oraz ich średnią ważoną, jeżeli wagi wynoszą kolejno 2,3 i 5.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz