Wariancja

Definicja: Wariancja

Wariancją nazywamy średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń od średniej arytmetycznej.

A=\{x_1,x_2,...,x_n\} - zbiór danych

m - średnia arytmetyczna danych ze zbioru A

Wariancję obliczamy ze wzoru:

\sigma^2 = \cfrac{(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+...+(x_n-m)^2}{n}

Przykład 1

Oblicz wariancję danych ze zbioru A=\{4,5,8,9,14\}

 

Najpierw obliczamy średnią arytmetyczną danych ze zbioru A. Sumujemy wszystkie wartości i dzielimy przez ich ilość.

m=\cfrac{4+5+8+9+14}{5}=8

Obliczamy wariancję

\sigma^2 = \cfrac{(4-8)^2+(5-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(14-8)^2}{5}=\cfrac{62}{5}=12,4

 

Wzór: Wariancja dla szeregu szczegółowego.

Wariancję szeregu szczegółowego A = \{ (x_1, n_1),\ (x_2, n_2), ..., (x_k, n_k) \} obliczamy

\sigma^2 = \cfrac{n_1 * (x_1 - m)^2 + n_2 * (x_2 - m)^2+...+n_k*(x_k-m)^2}{n}

gdzie:

n_1+n_2+...+n_k=n

x_i \ \in \mathbf{R} - wartość

n_i \ \in \mathbf{N} - liczebność wartości x_i

m - średnia arytmetyczna danych ze zbioru szczegółowego A

Przykład 2

Oblicz średnią ocenę ze sprawdzianu z matematyki mając histogram uzyskanych ocen

Odczytujemy oceny i ich liczebności z histogramu

x_1 = 2 \quad n_1 = 1

x_2 = 3 \quad n_2 = 3

x_3 = 4 \quad n_3 = 3

x_4 = 5 \quad n_4 = 4

Liczymy ile osób pisało sprawdzian:

n=n_1+n_2+n_3+n_4=1+3+3+4=11

Liczymy średnią zgodnie z definicją dla szeregu szczegółowego

m=\cfrac{2* 1+3* 3+4* 3+5* 4}{1+3+3+4}=\cfrac{2+9+12+20}{11}=\cfrac{43}{11}

Liczymy wariancję

\sigma^2 = \cfrac{1 * \left(2 - \cfrac{42}{11}\right)^2 + 3 * \left(3 - \cfrac{42}{11}\right)^2 + 3 * \left(4 - \cfrac{42}{11}\right)^2 + 4 * \left(5 - \cfrac{42}{11}\right)^2}{11}

\sigma^2 = \cfrac{1 * \left(\cfrac{22}{11} - \cfrac{42}{11}\right)^2 + 3 * \left(\cfrac{33}{11} - \cfrac{42}{11}\right)^2 + 3 * \left(\cfrac{44}{11} - \cfrac{42}{11}\right)^2 + 4 * \left(\cfrac{55}{11} - \cfrac{42}{11}\right)^2}{11}

\sigma^2 = \cfrac{1 * \left(-\cfrac{20}{11}\right)^2 + 3 * \left(-\cfrac{9}{11}\right)^2 + 3 * \left(\cfrac{2}{11}\right)^2 + 4 * \left(\cfrac{13}{11}\right)^2}{11}

\sigma^2 = \cfrac{1 * \cfrac{400}{121} + 3 * \cfrac{81}{121} + 3 * \cfrac{4}{121} + 4 * \cfrac{169}{121}}{11}

\sigma^2 = \cfrac{\cfrac{400}{121} + \cfrac{243}{121} + \cfrac{12}{121} + \cfrac{676}{121}}{11}

\sigma^2 = \cfrac{\cfrac{1331}{121}}{11} = \cfrac{11}{11} = 1

\left

Zadanie 1

Marcin ma pięć ocen z matematyki: 4,\ 5,\ 3,\ x,\ 3. Średnia jego ocen wynosi 3,2. Oblicz  x oraz wariancję tych pięciu ocen.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Wariancja danych: 3,\ 5,\ 7,\ 8 wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz