Całkowanie przez części

Wzór: Całkowanie przez części

Wzór: Całkowanie przez części

$A \subset \mathbb{R}$

Jeżeli funkcje $f,g:A \rightarrow \mathbb{R}$ są ciągłe oraz ich pochodne są ciągłe, to prawdziwy jest następujący wzór:

$\int f'(x)g(x)dx =f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx$

Wzór na całkowanie przez części, stosujemy do obliczania całek z iloczynu funkcji.

Przykład:

Obliczyć całkę $\int x * e^x dx$ .

Stosując wzór na całkowanie przez części do rozwiazania tej całki, musimy zdecydować, którą funkcję $e^x$ czy $x$ przyjmiemy jako $f'(x)$ , a którą jako $g(x)$ .

Załóżmy, że:

$f'(x)=e^x$ ,

$g(x)=x$ .

Otrzymujemy wówczas:

$f(x)=\int e^x\ dx=e^x$

$g'(x)=(x)'=1$

W rezultacie po zastosowaniu wzoru na całkowanie przez części otrzymamy:

$\int x * e^x dx =x * e^x-\int e^x * 1 dx=$

$=x * e^x-\int e^x dx=x * e^x-e^x+C =e^x(x-1)+C$

Spróbujmy teraz zastosować ten sam wzór na całkowanie przez części, ale stosując odwrotne podstawienia. Jeżeli przyjęlibyśmy, że:

$f'(x)=x$ ,

$g(x)=e^x$ ,

to otrzymamy:

$f(x)=\int x dx=\cfrac{x^2}{2}$ ,

$g'(x)=(e^x)'=e^x$ .

W rezultacie po zastosowaniu wzoru na całkowanie przez części otrzymamy:

$\int x * e^x dx =\cfrac{x^2}{2} * e^x-\int\cfrac{x^2}{2} * e^x dx$

Takie rozwiązanie nie jest dobre, ponieważ zastosowanie całkowania przez części jeszcze bardziej komplikuje rachunki. W tym wypadku do obliczenia pozostałaby całka $\int\cfrac{x^2}{2} * e^x dx$ , która jest trudniejsza do obliczenia niż pierwotna całka. Zatem nie tędy droga.

Przykład:

Obliczyć całkę $\int x^5 \ln{x} dx$ .

Przyjmujemy, że:

$\begin{matrix}f'(x)=x^5 & \ \ \ & f(x)=\cfrac{x^6}{6} \\ g(x)= \ln(x)& \ \ \ & g'(x)=\cfrac{1}{x}\end{matrix}$

Takie podstawienie pozwoli na pozbycie się logarytmu, dlatego właśnie jako $g(x)$ przyjęliśmy $\ln(x)$ . W rezultacie po zastosowaniu wzoru na całkowanie przez części otrzymamy: