Sprowadzanie do logarytmu

Całki funkcji wymiernych sprowadzalne do logarytmu to takie, gdzie w liczniku znajduje sie pochodna mianownika. Do obliczania takich całek korzystamy ze wzoru:

 

Wzór:  

\int \cfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C

f(x) \neq 0, x \in \mathbb{R}

 

Przykład:

a) \int \cfrac{1}{x-6}dx=\ln|x-6|+C

Pochodą mianownika (x-6) jest liczba 1. Stąd możemy od razu zastosować powyższy wzór i wynik całki otrzymujemy automatycznie.

b) \int \cfrac{4}{x-3}dx=4\int \cfrac{1}{x-3}dx=4\ln|x-3|+C

Stałą 4 będącą w liczniku możemy wyłączyć przed znak całki. W ten sposób w liczniku otrzymaliśmy 1, czyli pochodną mianownika: (x-3)'=1. Podobnie jak powyżej stosujemy wzór i otrzymujemy wynik całki.

c) \int \cfrac{2}{3x+8}dx=2\int \cfrac{1}{3x+8}dx=2\int   \cfrac{3* \cfrac{1}{3}}{3x+8}dx =2* \cfrac{1}{3} \int   \cfrac{3}{3x+8}dx=\cfrac{2}{3} \int \cfrac{3}{3x+8}dx=

=\cfrac{2}{3}\ln|3x+8|+C

Pochodną mianownika czyli wielomianu (3x+8) jest liczba 3. Aby zastosować wzór, należy przekształcić licznik w taki sposób, aby znalazła się tam liczba 3 będąca pochodną mianownika. W tym celu w drugim kroku stałą 2 wyłączamy przed znak całki. W liczniku otrzymaliśmy 1. Ponieważ 1=3 * \cfrac{1}{3}, to w czwartym kroku w liczniku zostawiliśmy stałą 3, natomiast \cfrac{1}{3}  została wyłączona przed znak całki. Po wykonaniu tych przekształceń, możliwe jest zastosowanie wzoru i podanie wyniku całkowania.

Zaznacz co jest prawdą, a co fałszem.

Przykład

a) \int \cfrac{2x-6}{x^2-6x+3}dx=\ln|x^2-6x+3|+C

Pochodną wielomianu (x^2-6x+3) w mianowniku jest wielomian (2x-6) będący w liczniku. Stosując wzór otrzymujemy wynik całkowania.

b) \int \cfrac{x+1}{4x^2+8x-3}dx=1 * \int  \cfrac{x+1}{4x^2+8x-3}dx=8* \cfrac{1}{8} * \int  \cfrac{x+1}{4x^2+8x-3}dx=

\cfrac{1}{8}\int\cfrac{8(x+1)}{4x^2+8x-3}dx=\cfrac{1}{8}\int\cfrac{8x+8}{4x^2+8x-3}dx=\cfrac{1}{8}\ln|4x^2+8x-3|+C

Pochodną wielomianu (4x^2+8x-3) w mianowniku jest (8x+8). W liczniku funkcji podcałkowej znajduje się wielomian (x+1). Nie jest on pochodną wielomianu w mianowniku, jednak możemy go przekształcić w taki sposób, aby ten warunek był spełniony. Ponieważ 1=8 * \cfrac{1}{8}, to stałą 8 włączamy pod znak całki do licznika, natomiast ułamek \cfrac{1}{8} pozostaje przed znakiem całki.


Zadanie 1

Oblicz całkę \int \cfrac{dx}{x^3-1}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Oblicz całkę \int_0^1 \cfrac{xdx}{1-x}dx.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz