Sprowadzanie do logarytmu
Całki funkcji wymiernych sprowadzalne do logarytmu to takie, gdzie w liczniku znajduje sie pochodna mianownika. Do obliczania takich całek korzystamy ze wzoru:
a)
Pochodą mianownika jest liczba
. Stąd możemy od razu zastosować powyższy wzór i wynik całki otrzymujemy automatycznie.
b)
Stałą będącą w liczniku możemy wyłączyć przed znak całki. W ten sposób w liczniku otrzymaliśmy
, czyli pochodną mianownika:
. Podobnie jak powyżej stosujemy wzór i otrzymujemy wynik całki.
c)
Pochodną mianownika czyli wielomianu jest liczba
. Aby zastosować wzór, należy przekształcić licznik w taki sposób, aby znalazła się tam liczba
będąca pochodną mianownika. W tym celu w drugim kroku stałą
wyłączamy przed znak całki. W liczniku otrzymaliśmy
. Ponieważ
, to w czwartym kroku w liczniku zostawiliśmy stałą
, natomiast
została wyłączona przed znak całki. Po wykonaniu tych przekształceń, możliwe jest zastosowanie wzoru i podanie wyniku całkowania.
Zaznacz co jest prawdą, a co fałszem.
Przykład
a)
Pochodną wielomianu w mianowniku jest wielomian
będący w liczniku. Stosując wzór otrzymujemy wynik całkowania.
b)
Pochodną wielomianu w mianowniku jest
. W liczniku funkcji podcałkowej znajduje się wielomian
. Nie jest on pochodną wielomianu w mianowniku, jednak możemy go przekształcić w taki sposób, aby ten warunek był spełniony. Ponieważ
, to stałą
włączamy pod znak całki do licznika, natomiast ułamek
pozostaje przed znakiem całki.
Zobacz rozwiązanieOblicz całkę
.
Zobacz rozwiązanieOblicz całkę
.
Przeczytaj także:
- Całkowanie przez części
- Całkowanie przez podstawienie
- Całki funkcji elementarnych
- Całkowanie funkcji wymiernych cz. I - uwagi ogólne
- Całkowanie funkcji wymiernych cz. III - sprowadzanie do funkcji arctan
- Całkowanie funkcji wymiernych cz. IV - rozkład na ułamki proste
- Całkowanie funkcji wymiernych cz. V - funkcje wymierne niewłaściwe
COMMENT_CONTENT