Wzór: Całkowanie przez podstawienie

 

Wzór: Całkowanie przez podstawienie

Założenia:

Zakładamy, że A,B \subset \mathbb{R}, funkcja f:A \rightarrow \mathbb{R} jest całkowalna, funkcja g: B \rightarrow A jest bijekcją kl. C^1.

Wówczas

\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(t)dt

 

Całkowanie przez podstawienie stosujemy, gdy wśród funkcji podcałkowej potrafimy wyodrębnić pewną funkcję i jej pochodną. Na początku zapoznaj się z poniższymi trzema przykładami. Są dość proste, aby wprowadzić Cię do tematu.

 

Przykład:

Oblicz całkę \int \sin x\cos x\ dx.

 

Wśród funkcji podcałkowej możemy wyodrębnić funkcję sinus i funkcję cosinus. Wiemy, że (\sin x)'=\cos x. Oznacza to, że funkcję podcałkową tworzy iloczyn funkcji sinus oraz jej pochodnej. Do obliczenia tej całki, możemy zastosować podstawienie. A teraz małe wyjaśnienie co do zapisu.

Obliczamy całkę.

\int \sin x\cos x\ dx=...

Stosujemy podstawienie:

{\color{blue}t=\sin x}

{\color{blue}dt=\cos x\ dx}

...=\int t\ dt =\cfrac{t^2}{2}+C=\cfrac{\sin^2x}{2}+C

 

Przykład:

Oblicz całkę \int \cfrac{\ln x}{x} dx.

 

W powyższej całce na pierwszy rzut oka (osoby początkującej w całkowaniu), trudno zauważyć gdzie jest ukryta funkcja i jej pochodna, ale zauważ, że \cfrac{\ln x}{x}=\ln x * \cfrac{1}{x}. Ponieważ (\ln x )'=\cfrac{1}{x}, to stosujemy podstawienie t=\ln x.

 

\int \cfrac{\ln x}{x} dx=...

Stosujemy podstawienie:

{\color{blue} t=\ln(x)}

{\color{blue}dt=\cfrac{1}{x}}{\color{blue}dx}

...= \int t\ dt = \cfrac{t^2}{2}+C=\cfrac{\ln^2 x}{2}+C

 

Przykład:

Oblicz całkę \int \cfrac{3x^2+3}{x^3+3x+5} dx.

 

\int \cfrac{3x^2+3}{x^3+3x+5} dx=...

Stosujemy podstawienie:

{\color{blue}t=x^3+3x+5}

{\color{blue}dt=(3x^2+3)\ dx}

...=\int \cfrac{1}{t}\ dt= \ln |t|+C=\ln|x^3+3x+5|+C

Wzór 2

Wzór: 


\int [f(x)]^{\alpha}f'(x)dx=\left\{\begin{matrix}\ln |f(x)|+C &, \alpha=-1\\ \\\cfrac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1} +C&, \alpha \neq -1\end{matrix}\right.

 

Przykład:

\int \sin^5(x)\cos(x)dx=\cfrac{\sin^6(x)}{6} +C

\int \cfrac{\arctan^4(x)}{1+x^2}dx=\int \arctan^4(x) * \cfrac{1}{1+x^2}dx=

=\cfrac{\arctan^{4+1}(x)}{4+1} +C=\cfrac{\arctan^{5}(x)}{5} +C


Zadanie 1

Oblicz całkę \int \sin 2x \cos x dx.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Oblicz całkę \int \cfrac{dx}{\sqrt{4x-1}}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Oblicz całkę \int \cfrac{dx}{x^3-1}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Oblicz całkę \int_0^1 \cfrac{xdx}{1-x}dx.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Oblicz całkę \int_{1}^{+\infty} \cfrac{dx}{x^2+2}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Oblicz całkę \int_{0}^{+\infty} e^{-x}dx.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz