Całkowanie funkcji wymiernych cz. V - funkcje wymierne niewłaściwe

Rekurencyjne obniżanie stopnia licznika

Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną niewłaściwą (tzn. stopień wielomianu w liczniku jest większy niż stopień wielomianu w mianowniku), to obliczając taką całkę przekształcamy funkcję podcałkową w taki sposób, aby doprowadzić do całkowania funkcji wymiernej właściwej, bądź wielomianowej.

Całkowanie takich funkcji możemy wykonać np. przez obniżenie stopnia wielomianu w liczniku. Przykład poniżej.

Przykład:

Oblicz całkę $\int \cfrac{x^2}{x+1}dx$ .

Aby obliczyć powyższą całkę dodamy i odejmiemy w liczniku $x$ . Dzięki temu obniżymy stopień wielomianu w liczniku. Spójrz poniżej:

$\int \cfrac{x^2}{x+1}dx=\int \cfrac{x^2+x-x}{x+1}dx=\int \cfrac{x(x+1)-x}{x+1}dx=...$

Rozdzielamy funkcję podcałkową na dwa ułamki, a kolejno na dwie całki.

$...=\int \left(\cfrac{x(x+1)}{x+1}-\cfrac{x}{x+1}\right)dx=\int x \ dx -\int \cfrac{x}{x+1}dx=...$

Aby obliczyć drugą całkę, ponownie obniżymy stopień wielomianu w liczniku w funkcji podcałkowej, tym razem dodając i odejmując $1$ .

$=\cfrac{x^2}{2}-\int \cfrac{x+1-1}{x+1}dx=\cfrac{x^2}{2}-\int \left(\cfrac{x+1}{x+1}-\cfrac{1}{x+1}\right)dx=$

$\cfrac{x^2}{2}-\int \left(1-\cfrac{1}{x+1}\right)dx=\cfrac{x^2}{2}-\int dx-\int \cfrac{1}{x+1}dx=\cfrac{x^2}{2}-x-\ln|x+1|+C$

Dzielenie licznika przez mianownik

Drugim sposobem zamiany funkcji wymiernej niewłaściwej na wielomian i funkcję wymierną właściwą, jest wykonanie dzielenia: licznik przez mianownik. Spójrz na poniższy przykład.

Przykład:

Oblicz całkę $\int \cfrac{x^3-5x^2-8x+53}{x-4}dx$ .