Rekurencyjne obniżanie stopnia licznika

Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną niewłaściwą (tzn. stopień wielomianu w liczniku jest większy niż stopień wielomianu w mianowniku), to obliczając taką całkę przekształcamy funkcję podcałkową w taki sposób, aby doprowadzić do całkowania funkcji wymiernej właściwej, bądź wielomianowej.

Całkowanie takich funkcji możemy wykonać np. przez obniżenie stopnia wielomianu w liczniku. Przykład poniżej.

Przykład:

Oblicz całkę \int \cfrac{x^2}{x+1}dx.

 

Aby obliczyć powyższą całkę dodamy i odejmiemy w liczniku x. Dzięki temu obniżymy stopień wielomianu w liczniku. Spójrz poniżej:

\int \cfrac{x^2}{x+1}dx=\int \cfrac{x^2+x-x}{x+1}dx=\int \cfrac{x(x+1)-x}{x+1}dx=...

Rozdzielamy funkcję podcałkową na dwa ułamki, a kolejno na dwie całki.

...=\int \left(\cfrac{x(x+1)}{x+1}-\cfrac{x}{x+1}\right)dx=\int x \ dx -\int \cfrac{x}{x+1}dx=...

Aby obliczyć drugą całkę, ponownie obniżymy stopień wielomianu w liczniku w funkcji podcałkowej, tym razem dodając i odejmując 1.

=\cfrac{x^2}{2}-\int \cfrac{x+1-1}{x+1}dx=\cfrac{x^2}{2}-\int \left(\cfrac{x+1}{x+1}-\cfrac{1}{x+1}\right)dx=

\cfrac{x^2}{2}-\int \left(1-\cfrac{1}{x+1}\right)dx=\cfrac{x^2}{2}-\int dx-\int \cfrac{1}{x+1}dx=\cfrac{x^2}{2}-x-\ln|x+1|+C

Dzielenie licznika przez mianownik

Drugim sposobem zamiany funkcji wymiernej niewłaściwej na wielomian i funkcję wymierną właściwą, jest wykonanie dzielenia: licznik przez mianownik. Spójrz na poniższy przykład.

 

Przykład:

Oblicz całkę \int \cfrac{x^3-5x^2-8x+53}{x-4}dx.

Zaczynamy od wykonania dzielenia wielomianów:

Otrzymaliśmy, że:

\cfrac{x^3-5x^2-8x+53}{x-4}=(x^2-x-12)+\cfrac{5}{x-4}

Wykorzystując powyższą równość, przekształcamy funkcję podcałkową.

\int \cfrac{x^3-5x^2-8x+53}{x-4}dx=\int (x^2-x-12+\cfrac{5}{x-4})dx=

=\int (x^2-x-12)dx+\int \cfrac{5}{x-4}dx=\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{x^2}{2}-12x+5 \ln|x-4|+C


Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz