Całkowanie funkcji wymiernych cz. I

W rozdziale Funkcje wymierne zostały przypomniane istotne własności funkcji wymiernych wykorzystywane przy ich całkowaniu. W tym rozdziale zajmiemy się obliczaniem całek funkcji wymiernych.

Definicja: Całka funkcji wymiernej

Całką z funkcji wymiernej nazywamy całkę postaci:

\int \cfrac{P_n(x)}{Q_m(x)} dx

gdzie

P_n(x) - jest wielomianem stopnia n

Q_m(x) - jest niezerowym wielomianem stopnia m

 

Przykład:

Przykłady całek funkcji wymiernych, to:

\int \cfrac{x^2+4x+1}{x^3+x^2+6x+2}dx

\int \cfrac{1}{x^2+1}dx

\int \cfrac{x^2+6x+5}{x+5}dx

\int \cfrac{6}{(x+4)(x-4)}dx

 

UWAGA!

Całka każdej funkcji wymiernej jest kombinacją liniową następujących funkcji:

1) logarytmu funkcji liniowej

2) logarytmu funkcji kwadratowej o ujemnym wyróżniku

3) arcustangensa funkcji liniowej

4) funkcji wielomianowej

Całkując funkcje wymierne będziemy w szczególności korzystać z następujących własności:

Twierdzenie: Twierdzenie o funkcji wymiernej

Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę pewnego wielomianu i ułamków prostych.

Jeżeli funkcja wymierna jest właściwa (tzn. wielomian w liczniku ma niższy stopień niż wielomian w mianowniku), to funkcja wymierna daje się zapisać jako suma ułamków prostych.

Jeżeli funkcja wymierna  jest niewłaściwa (tzn. wielomian w licznku ma stopień wyższy lub równy niż stopień wielomianu w mianowniku), to zapisujemy ją jako sumę wielomianu i ułamków prostych. Aby zapisać funkcję wymierną niewłaściwą w takiej postaci, wykonujemy dzielenie wielomianu w liczniku przez wielomian w będący mianowniku.

 

W kolejnych rozdziałach:

Całki funkcji wymiernych - sprowadzanie do logarytmu

Całki funkcji wymiernych - sprowadzanie do arctan

Całki funkcji wymiernych - rozkład na ułamki proste


Zadanie 1

Oblicz całkę \int \cfrac{dx}{x^3-1}.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz