Całkowanie funkcji wymiernych cz. I
W rozdziale Funkcje wymierne zostały przypomniane istotne własności funkcji wymiernych wykorzystywane przy ich całkowaniu. W tym rozdziale zajmiemy się obliczaniem całek funkcji wymiernych.
Całką z funkcji wymiernej nazywamy całkę postaci:
}{Q_m(x)} dx})
gdzie
})
})
Przykłady całek funkcji wymiernych, to:
(x-4)}dx})
Całka każdej funkcji wymiernej jest kombinacją liniową następujących funkcji:
1) logarytmu funkcji liniowej
2) logarytmu funkcji kwadratowej o ujemnym wyróżniku
3) arcustangensa funkcji liniowej
4) funkcji wielomianowej
Całkując funkcje wymierne będziemy w szczególności korzystać z następujących własności:
Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę pewnego wielomianu i ułamków prostych.
Jeżeli funkcja wymierna jest właściwa (tzn. wielomian w liczniku ma niższy stopień niż wielomian w mianowniku), to funkcja wymierna daje się zapisać jako suma ułamków prostych.
Jeżeli funkcja wymierna jest niewłaściwa (tzn. wielomian w licznku ma stopień wyższy lub równy niż stopień wielomianu w mianowniku), to zapisujemy ją jako sumę wielomianu i ułamków prostych. Aby zapisać funkcję wymierną niewłaściwą w takiej postaci, wykonujemy dzielenie wielomianu w liczniku przez wielomian w będący mianowniku.
W kolejnych rozdziałach:
Całki funkcji wymiernych - sprowadzanie do logarytmu
Całki funkcji wymiernych - sprowadzanie do arctan
Całki funkcji wymiernych - rozkład na ułamki proste
Zobacz rozwiązanieOblicz całkę
.
Przeczytaj także:
- Całkowanie przez części
- Całkowanie przez podstawienie
- Całki funkcji elementarnych
- Całkowanie funkcji wymiernych cz. II - sprowadzanie do logarytmu
- Całkowanie funkcji wymiernych cz. III - sprowadzanie do funkcji arctan
- Całkowanie funkcji wymiernych cz. IV - rozkład na ułamki proste
- Całkowanie funkcji wymiernych cz. V - funkcje wymierne niewłaściwe
COMMENT_CONTENT