Algorytm obliczania

 

Całki funkcji wymiernych sprowadzalne do funkcji arctan, to całki postaci:

\int \cfrac{dx}{ax^2+bx+c}

\int \cfrac{dx}{(x-p)^2+q}

gdzie

a,b,c,p,q \in \mathbb{R}, a \neq 0, \Delta<0,

p=-\cfrac{b}{2a}, q=-\cfrac{\Delta}{4a}

Algorytm obliczania całek przez sprowadzanie co arctan jest następujący:

  • Jeżeli całkujemy funkcje wymierną postaci \int \cfrac{dx}{ax^2+bx+c}, to w pierwszym kroku sprowadzamy trójmian w mianowniku do postaci kanonicznej. W tym celu korzystamy z poniższego wzoru:
Wzór: Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego

ax^2+bx+c=a(x-p)^2+q

gdzie

p=-\cfrac{b}{2a}, q=-\cfrac{\Delta}{4a}=-\cfrac{b^2-4ac}{4a}

  • Kolejnym korkiem jest wyłaczenie stałych przed znak całki. Dokładniej chodzi o to, aby przed czynnikiem (x-p)^2 nie stała już żadna liczba. Przed znak całki wyłączamy czynnik \cfrac{1}{a}.
  • Po wyłaczeniu stałej pozostaje zastosowanie następującego podstawienia:

    Podstawienie:

    \begin{Bmatrix}x-p=\sqrt{q}* t\\dx=\sqrt{q}dt\end{Bmatrix}

  •  Ostatni etap to obliczenie całki na podstawie wzoru \int \cfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+C. 

Nie samą teorią żyje człowiek, dlatego spójrz na poniższe przykłady.

Przykład:

Oblicz \int \cfrac{5}{1+x^2}dx.

Jedyne przekształcenie jakie jest konieczne do obliczenia tej całki, to wyłączenie stałej 5 przed znak całki.

\int \cfrac{5}{1+x^2}dx=5\int \cfrac{1}{1+x^2}dx=5\arctan(x)+C

 

Przykład:
Oblicz \int \cfrac{2}{1+4x^2}dx.
Poniżej dwa sposoby obliczenia tej całki.Pierwszy sposób bazuje na opisanym wyżej algorytmie, natomiast drugi wskazuje nieco inne (prostrze)  obliczenie tej całki.
I sposób:
\int\cfrac{2}{1+4x^2}dx\overset{{\color{red}{1}}}{=}\cfrac{2}{4}\int   \cfrac{1}{\cfrac{1}{4}+x^2}dx\overset{{\color{red}{2}}}{=}\cfrac{1}{2}\int\cfrac{\cfrac{1}{2}dt}{\cfrac{1}{4}+\left(\sqrt{\cfrac{1}{4}}t\right)^2}dt=\cfrac{1}{2}*\cfrac{1}{2}\int\cfrac{dt}{\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{4}t^2}dt=
\cfrac{1}{4} * 4 \int \cfrac{dt}{1+ t^2}dt=\arctan(t)+C =\arctan(2x)+C

Krok 1: Wyłączamy przed znak całki stałą z licznika i mianownika \cfrac{2}{4}

Krok 2: Stosujemy podstawienie:

\begin{Bmatrix}\sqrt{\cfrac{1}{4}}t=x \\ \cfrac{1}{2}dt =dx\end{Bmatrix}

a następnie wyłaczamy wszytkie stałe przed znak całki.

II sposób:

\int  \cfrac{2}{1+4x^2}dx \overset{{\color{Red} 1}}{=} 2\int   \cfrac{1}{1+(2x)^2}dx\overset{{\color{Red} 2}}{=}2\int   \cfrac{\cfrac{1}{2}dt}{1+t^2}dt=\arctan(t)+C=\arctan(2x)+C

Krok 1: Wyłączamy stałą z licznika przed nawias. Ponadto zauważmy, że 4x^2=(2x)^2.

Krok 2: Stosujemy podstawienie:

\begin{Bmatrix} t=2x \\ dt =2dx\\dx=\cfrac{1}{2}dt\end{Bmatrix}

Po zastosowaniu podstawienia, automatycznie otrzymujemy wynik całki.


Zadanie 1

Oblicz całkę \int \cfrac{dx}{x^3-1}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Oblicz całkę \int_{1}^{+\infty} \cfrac{dx}{x^2+2}.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz