Kiedy stosujemy rozkład na ułamki proste?

Rozkład na ułamki proste stosujemy w przypadku, gdy całkujemy funkcje wymierne właściwe (czyli stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy niż stopień wielomianu w mianowniku).

Jeżeli mamy do czynienia z funkcją wymierną niewłaściwą (stopień wielomianu w liczniku jest większy bądź równy niż stopień wielomianu w mianowniku), to najpierw wykonujemy dzielenie wielomianu z licznika przez wielomian z mianownika. W ten sposób otrzymamy pewien wielomian i funkcję wymierną właściwą.

Przypomnijmy, jeszcze czym są ułamki proste.

Definicja: Ułamek prosty

Ułamkiem prostym nazywamy funkcję wymierną jednej z postaci:

  1. \cfrac{A}{(ax+b)^n}
  2. \cfrac{Bx+C}{(ax^2+bx+c)^n}

gdzie

ax^2+bx+c - wielomian jest nierozkładalny, czyli wyróżnik \Delta=b^2-4ac<0 i a\neq 0,

n \geq 0,

A,B,C,a,b,c \in \mathbb{R}.

Więcej informacji na ten temat znajdziesz w rozdziale: Funkcje wymierne. A teraz przejdźmy do przykładów.

Całkowanie z wykorzystaniem rozkładu na ułamki proste

Przykład:

Oblicz całkę \int \cfrac{dx}{(x-1)(x+3)}.

Aby obliczyć powyższą całkę, skorzystamy z rozkładu na ułamki proste funkcji podcałkowej.

\cfrac{1}{(x-1)(x+3)}

W mianowniku powyższgo wyrażenia wymiernego znajduje się iloczyn czynników (x-1) i (x+3). Oba te czynniki są wielomianami stopnia pierwszego, zatem ułamki proste o mianownikach równych tym czynnikom będą miały postać: \cfrac{A}{x-1} i \cfrac{B}{x+3}, gdzie Ai B są pewnymi stałymi, które obliczymy rozwiazując równanie:

\cfrac{1}{(x-1)(x+3)}=\cfrac{A}{x-1}+\cfrac{B}{x+3}\ \ \ /{* (x-1)(x+3)}

1=A(x+3)+B(x-1)

Porządkujemy wyrazy względem zmiennej x:

{1}=Ax+Bx+3A-B

1=(A+B)x+3A-B

Porównujemy obie strony równania. Dwa wielomiany są równe, jeżeli ich współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej są takie same. Stąd otrzymujemy:

\left\{\begin{matrix}A+B=0\\ 3A-B=1\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} B=-A\\  B=3A-1 \end{matrix}\right.

-A=3A-1

4A=1

A=\cfrac{1}{4}

B=-\cfrac{1}{4}

 Po podstawieniu obliczonych współczynników otrzymujemy, że:

\cfrac{1}{(x-1)(x+3)}=\cfrac{1}{4(x-1)}-\cfrac{1}{4(x+3)}

Obliczamy całkę.

\int \cfrac{dx}{(x-1)(x+3)}=\int \left( \cfrac{1}{4(x-1)}-\cfrac{1}{4(x+3)} \right)dx=

=\int \cfrac{1}{4(x-1)} dx -\int \cfrac{1}{4(x+3)} dx=\cfrac{1}{4}\int \cfrac{1}{x-1} dx-\cfrac{1}{4}\int \cfrac{1}{x+3} dx=

=\cfrac{1}{4} (\ln|x-1|-\ln|x+3|)+C

Zaznacz co jest prawdą, a co fałszem.

Przykład

Oblicz całkę \int \cfrac{x+2}{(x-1)^2(x^2-2x+2)}dx.

 

Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste. W mianowniku funkcji podcałkowej znajdują się czynniki: (x-1) oraz (x^2-2x+2).

 

  • Pierwszy z tych czynników czyli (x-1) jest podniesiony do kwadratu. Oznacza, to że rozkładając funkcję na ułamki proste dodajemy dwa ułamki:

\cfrac{A}{(x-1)} - gdzie czynnik (x-1) występuje w pierwszej potędze i

\cfrac{B}{(x-1)^2} - gdzie czynnik (x-1) występuje w drugiej potędze.

A i B są nieznanymi stałymi, które będziemy obliczać na podstawie równania.

 

  • Drugi czynnik, czyli (x^2-2x+2) jest nierozkładalnym trójmianem (\Delta=-4<0). Rozkładając funkcję na ułamki proste dodamy ułamek postaci \cfrac{Cx+D}{(x^2-2x+2)}, gdzie C i D są nieznanymi stałymi, które obliczymy na podstawie równania.

W liczniku został wpisany wzór Cx+D (a nie tylko stała C), dlatego że ułamki proste, które w mianowniku mają nierozkładalny trójmian kwadratowy, w liczniku mogą mieć także wielomian pierwszego stopnia, czyli wielomian postaci Cx+D

 

Rówannie na podstawie, którego obliczymy nieznane stałe A,B,C i D przyjmuje postać:

\tiny \cfrac{x+2}{(x-1)^2(x^2-2x+2)}=\cfrac{A}{(x-1)}+\cfrac{B}{(x-1)^2}+\cfrac{Cx+D}{(x^2-2x+2)}\ \ \ /* (x-1)^2(x^2-2x+2)

\tiny {x+2}=A(x-1)(x^2-2x+2)+B(x^2-2x+2)+(Cx+D)(x-1)^2

\tiny {x+2}=Ax^3-3Ax^2+4Ax-2A+Bx^2-2Bx+2B+Cx^3-2Cx^2+Cx+Dx^2-2Dx+D

\tiny {x+2}=Ax^3+Cx^3-3Ax^2+Bx^2-2Cx^2+Dx^2+4Ax-2Bx+Cx-2Dx-2A+2B+D

\tiny {x+2}=(A+C)x^3+(-3A+B-2C+D)x^2+(4A-2B+C-2D)x-2A+2B+D

Porównując wielomian po lewej stronie równania i wielomian po prawej stronie równania otrzymujemy układ równań z niewiadomymi A,B,C,D:

\left\{\begin{matrix}A+C=0\\ -3A+B-2C+D=0\\ 4A-2B+C-2D=1\\ -2A+2B+D=2\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} C=-A\\  -3A+B-2(-A)+D=0\\  4A-2B-A-2D=1\\  -2A+2B+D=2 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} C=-A\\ -A+B+D=0\\  3A-2B-2D=1\\  -2A+2B+D=2 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} C=-A\\  D=A-B\\  3A-2B-2D=1\\  D=2+2A-2B \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}C=-A\\D=A-B\\3A-2B-2(A-B)=1\\ A-B=2+2A-2B \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} C=-A\\ D=A-B\\3A-2B-2A+2B=1\\  A-B=2+2A-2B \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} C=-A\\ D=A-B\\A=1\\1-B=2+2-2B \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} C=-1\\D=1-3=-2 \\A=1\\ B=3 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}A=1\\ B=3 \\C=-1 \\D=-2 \end{matrix}\right.

\cfrac{x+2}{(x-1)^2(x^2-2x+2)}=\cfrac{1}{(x-1)}+\cfrac{3}{(x-1)^2}+\cfrac{-x-2}{(x^2-2x+2)}

Kiedy już funkcję podcałkową mamy rozłożoną na ułamki proste, możemy przejść do całkowania.

\int \cfrac{x+2}{(x-1)^2(x^2-2x+2)}dx=\int \left(\cfrac{1}{(x-1)}+\cfrac{3}{(x-1)^2}+\cfrac{-x-2}{(x^2-2x+2)}\right)dx=

\int\cfrac{1}{(x-1)}dx+\int\cfrac{3}{(x-1)^2}dx-\int\cfrac{x+2}{(x^2-2x+2)}dx=

\ln|x-1|-\cfrac{3}{x-1}-\cfrac{1}{2}\ln|x^2-2x+2|-3\arctan(x-1)+C

W jaki sposób otrzymaliśmy wynik zobacz poniżej, gdzie kolejno są omówione wszystkie trzy całki:

  • Wynik pierwszej całki otrzymujemy automatycznie (licznik jest pochodną mianownika), zatem stosujemy wzór: \int \cfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C

\int\cfrac{1}{(x-1)}dx=\ln|x-1|+C

 

  • Oblicznie drugiej całki również nie wymaga skomplikowanych rachunków. Korzystamy ze wzoru \int \cfrac{f'(x)}{[f(x)]^n}dx=\cfrac{[f(x)]^{-n+1}}{-n+1}, n\neq 1. W tym przypadku f(x)=x-1,f'(x)=1, n=2.

\int\cfrac{3}{(x-1)^2}dx=3\int\cfrac{1}{(x-1)^2}dx=3* \cfrac{(x-1)^{-2+1}}{-2+1}+C=

-3* (x-1)^{-1}+C=-\cfrac{3}{x-1}+C

 

  • Pozostaje do obliczenia trzecia całka: \int\cfrac{x+2}{(x^2-2x+2)}dx. pierwszym krokiem jaki wykonamy,  jest przekształcenie licznika w taki sposób, aby znalazła się tam pochodna mianownika. Pochodna mianownika, to (x^2-2x+2)'=2x-2. Zauważ, że x+2=\cfrac{1}{2}(2x-2)+3, dlatego:

\int\cfrac{x+2}{(x^2-2x+2)}dx=\int\cfrac{\cfrac{1}{2}(2x-2)+3}{(x^2-2x+2)}dx=...

Wykonujemy rozdzielenie na dwie całki:

...=\int\cfrac{\cfrac{1}{2}(2x-2)}{(x^2-2x+2)}dx+\int\cfrac{3}{(x^2-2x+2)}dx=

\cfrac{1}{2}\int\cfrac{(2x-2)}{(x^2-2x+2)}dx+3\int\cfrac{1}{(x^2-2x+2)}dx=

Wynik pierwszej całki otrzymujemy automatycznie (licznik jest pochodną mianownika). Jeżeli chodzi o drugą powstałą całkę, to wykonujemy sprowadzenie do arctan (zobacz: sprowadzanie do arctan.)

\tiny =\cfrac{1}{2}\ln|x^2-2x+2|+3\int\cfrac{1}{(x-1)^2+1}dx=\cfrac{1}{2}\ln|x^2-2x+2|+3\arctan(x-1)+C


Zadanie 1

Oblicz całkę \int \cfrac{dx}{x^3-1}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Oblicz całkę \int_0^1 \cfrac{xdx}{1-x}dx.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz