Całkowanie funkcji wymiernych cz. IV - rozkład na ułamki proste

Kiedy stosujemy rozkład na ułamki proste?

Rozkład na ułamki proste stosujemy w przypadku, gdy całkujemy funkcje wymierne właściwe (czyli stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy niż stopień wielomianu w mianowniku).

Jeżeli mamy do czynienia z funkcją wymierną niewłaściwą (stopień wielomianu w liczniku jest większy bądź równy niż stopień wielomianu w mianowniku), to najpierw wykonujemy dzielenie wielomianu z licznika przez wielomian z mianownika. W ten sposób otrzymamy pewien wielomian i funkcję wymierną właściwą.

Przypomnijmy, jeszcze czym są ułamki proste.

Definicja: Ułamek prosty

Ułamkiem prostym nazywamy funkcję wymierną jednej z postaci:

$\cfrac{A}{(ax+b)^n}$
$\cfrac{Bx+C}{(ax^2+bx+c)^n}$

gdzie

$ax^2+bx+c$ - wielomian jest nierozkładalny, czyli wyróżnik $\Delta=b^2-4ac<0$ i $a\neq 0$ ,

$n \geq 0$ ,

$A,B,C,a,b,c \in \mathbb{R}$ .

Więcej informacji na ten temat znajdziesz w rozdziale: Funkcje wymierne. A teraz przejdźmy do przykładów.

Całkowanie z wykorzystaniem rozkładu na ułamki proste

Przykład:

Oblicz całkę $\int \cfrac{dx}{(x-1)(x+3)}$ .

Aby obliczyć powyższą całkę, skorzystamy z rozkładu na ułamki proste funkcji podcałkowej.

$\cfrac{1}{(x-1)(x+3)}$

W mianowniku powyższgo wyrażenia wymiernego znajduje się iloczyn czynników $(x-1)$ i $(x+3)$ . Oba te czynniki są wielomianami stopnia pierwszego, zatem ułamki proste o mianownikach równych tym czynnikom będą miały postać: $\cfrac{A}{x-1}$ i $\cfrac{B}{x+3}$ , gdzie $A$ i $B$ są pewnymi stałymi, które obliczymy rozwiazując równanie:

$\cfrac{1}{(x-1)(x+3)}=\cfrac{A}{x-1}+\cfrac{B}{x+3}\ \ \ /{* (x-1)(x+3)}$

$1=A(x+3)+B(x-1)$

Porządkujemy wyrazy względem zmiennej $x$ :

${1}=Ax+Bx+3A-B$

$1=(A+B)x+3A-B$

Porównujemy obie strony równania. Dwa wielomiany są równe, jeżeli ich współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej są takie same. Stąd otrzymujemy:

$\left\{\begin{matrix}A+B=0\\ 3A-B=1\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} B=-A\\ B=3A-1 \end{matrix}\right.$

$-A=3A-1$

$4A=1$

$A=\cfrac{1}{4}$

$B=-\cfrac{1}{4}$

Po podstawieniu obliczonych współczynników otrzymujemy, że:

$\cfrac{1}{(x-1)(x+3)}=\cfrac{1}{4(x-1)}-\cfrac{1}{4(x+3)}$

Obliczamy całkę.

$\int \cfrac{dx}{(x-1)(x+3)}=\int \left( \cfrac{1}{4(x-1)}-\cfrac{1}{4(x+3)} \right)dx=$

$=\int \cfrac{1}{4(x-1)} dx -\int \cfrac{1}{4(x+3)} dx=\cfrac{1}{4}\int \cfrac{1}{x-1} dx-\cfrac{1}{4}\int \cfrac{1}{x+3} dx=$

$=\cfrac{1}{4} (\ln|x-1|-\ln|x+3|)+C$

Zaznacz co jest prawdą, a co fałszem.

Ćwiczenia są dostępne dla zalogowanych uzytkowników posiadających konto premium

Przykład

Oblicz całkę $\int \cfrac{x+2}{(x-1)^2(x^2-2x+2)}dx$ .

Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste. W mianowniku funkcji podcałkowej znajdują się czynniki: $(x-1)$ oraz $(x^2-2x+2)$ .

Pierwszy z tych czynników czyli $(x-1)$ jest podniesiony do kwadratu. Oznacza, to że rozkładając funkcję na ułamki proste dodajemy dwa ułamki:

$\cfrac{A}{(x-1)}$ - gdzie czynnik $(x-1)$ występuje w pierwszej potędze i

$\cfrac{B}{(x-1)^2}$ - gdzie czynnik $(x-1)$ występuje w drugiej potędze.

$A$ i $B$ są nieznanymi stałymi, które będziemy obliczać na podstawie równania.

Drugi czynnik, czyli $(x^2-2x+2)$ jest nierozkładalnym trójmianem ( $\Delta=-4<0$ ). Rozkładając funkcję na ułamki proste dodamy ułamek postaci $\cfrac{Cx+D}{(x^2-2x+2)}$ , gdzie $C$ i $D$ są nieznanymi stałymi, które obliczymy na podstawie równania.

W liczniku został wpisany wzór $Cx+D$ (a nie tylko stała $C$ ), dlatego że ułamki proste, które w mianowniku mają nierozkładalny trójmian kwadratowy, w liczniku mogą mieć także wielomian pierwszego stopnia, czyli wielomian postaci $Cx+D$

Rówannie na podstawie, którego obliczymy nieznane stałe $A,B,C$ i $D$ przyjmuje postać:

$\tiny \cfrac{x+2}{(x-1)^2(x^2-2x+2)}=\cfrac{A}{(x-1)}+\cfrac{B}{(x-1)^2}+\cfrac{Cx+D}{(x^2-2x+2)}\ \ \ /* (x-1)^2(x^2-2x+2)$

$\tiny {x+2}=A(x-1)(x^2-2x+2)+B(x^2-2x+2)+(Cx+D)(x-1)^2$

$\tiny {x+2}=Ax^3-3Ax^2+4Ax-2A+Bx^2-2Bx+2B+Cx^3-2Cx^2+Cx+Dx^2-2Dx+D$

$\tiny {x+2}=Ax^3+Cx^3-3Ax^2+Bx^2-2Cx^2+Dx^2+4Ax-2Bx+Cx-2Dx-2A+2B+D$

$\tiny {x+2}=(A+C)x^3+(-3A+B-2C+D)x^2+(4A-2B+C-2D)x-2A+2B+D$

Porównując wielomian po lewej stronie równania i wielomian po prawej stronie równania otrzymujemy układ równań z niewiadomymi $A,B,C,D$ :

$\left\{\begin{matrix}A+C=0\\ -3A+B-2C+D=0\\ 4A-2B+C-2D=1\\ -2A+2B+D=2\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} C=-A\\ -3A+B-2(-A)+D=0\\ 4A-2B-A-2D=1\\ -2A+2B+D=2 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} C=-A\\ -A+B+D=0\\ 3A-2B-2D=1\\ -2A+2B+D=2 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} C=-A\\ D=A-B\\ 3A-2B-2D=1\\ D=2+2A-2B \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}C=-A\\D=A-B\\3A-2B-2(A-B)=1\\ A-B=2+2A-2B \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} C=-A\\ D=A-B\\3A-2B-2A+2B=1\\ A-B=2+2A-2B \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} C=-A\\ D=A-B\\A=1\\1-B=2+2-2B \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} C=-1\\D=1-3=-2 \\A=1\\ B=3 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}A=1\\ B=3 \\C=-1 \\D=-2 \end{matrix}\right.$

$\cfrac{x+2}{(x-1)^2(x^2-2x+2)}=\cfrac{1}{(x-1)}+\cfrac{3}{(x-1)^2}+\cfrac{-x-2}{(x^2-2x+2)}$

Kiedy już funkcję podcałkową mamy rozłożoną na ułamki proste, możemy przejść do całkowania.

$\int \cfrac{x+2}{(x-1)^2(x^2-2x+2)}dx=\int \left(\cfrac{1}{(x-1)}+\cfrac{3}{(x-1)^2}+\cfrac{-x-2}{(x^2-2x+2)}\right)dx=$

$\int\cfrac{1}{(x-1)}dx+\int\cfrac{3}{(x-1)^2}dx-\int\cfrac{x+2}{(x^2-2x+2)}dx=$

$\ln|x-1|-\cfrac{3}{x-1}-\cfrac{1}{2}\ln|x^2-2x+2|-3\arctan(x-1)+C$

W jaki sposób otrzymaliśmy wynik zobacz poniżej, gdzie kolejno są omówione wszystkie trzy całki:

Wynik pierwszej całki otrzymujemy automatycznie (licznik jest pochodną mianownika), zatem stosujemy wzór: $\int \cfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C$

$\int\cfrac{1}{(x-1)}dx=\ln|x-1|+C$

Oblicznie drugiej całki również nie wymaga skomplikowanych rachunków. Korzystamy ze wzoru $\int \cfrac{f'(x)}{[f(x)]^n}dx=\cfrac{[f(x)]^{-n+1}}{-n+1}, n\neq 1$ . W tym przypadku $f(x)=x-1$ , $f'(x)=1$ , $n=2$ .

$\int\cfrac{3}{(x-1)^2}dx=3\int\cfrac{1}{(x-1)^2}dx=3* \cfrac{(x-1)^{-2+1}}{-2+1}+C=$

$-3* (x-1)^{-1}+C=-\cfrac{3}{x-1}+C$

Pozostaje do obliczenia trzecia całka: $\int\cfrac{x+2}{(x^2-2x+2)}dx$ . pierwszym krokiem jaki wykonamy, jest przekształcenie licznika w taki sposób, aby znalazła się tam pochodna mianownika. Pochodna mianownika, to $(x^2-2x+2)'=2x-2$ . Zauważ, że $x+2=\cfrac{1}{2}(2x-2)+3$ , dlatego:

$\int\cfrac{x+2}{(x^2-2x+2)}dx=\int\cfrac{\cfrac{1}{2}(2x-2)+3}{(x^2-2x+2)}dx=...$

Wykonujemy rozdzielenie na dwie całki:

$...=\int\cfrac{\cfrac{1}{2}(2x-2)}{(x^2-2x+2)}dx+\int\cfrac{3}{(x^2-2x+2)}dx=$

$\cfrac{1}{2}\int\cfrac{(2x-2)}{(x^2-2x+2)}dx+3\int\cfrac{1}{(x^2-2x+2)}dx=$

Wynik pierwszej całki otrzymujemy automatycznie (licznik jest pochodną mianownika). Jeżeli chodzi o drugą powstałą całkę, to wykonujemy sprowadzenie do arctan (zobacz: sprowadzanie do arctan.)

$\tiny =\cfrac{1}{2}\ln|x^2-2x+2|+3\int\cfrac{1}{(x-1)^2+1}dx=\cfrac{1}{2}\ln|x^2-2x+2|+3\arctan(x-1)+C$