Kiedy stosujemy rozkład na ułamki proste?
Rozkład na ułamki proste stosujemy w przypadku, gdy całkujemy funkcje wymierne właściwe (czyli stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy niż stopień wielomianu w mianowniku).
Jeżeli mamy do czynienia z funkcją wymierną niewłaściwą (stopień wielomianu w liczniku jest większy bądź równy niż stopień wielomianu w mianowniku), to najpierw wykonujemy dzielenie wielomianu z licznika przez wielomian z mianownika. W ten sposób otrzymamy pewien wielomian i funkcję wymierną właściwą.
Przypomnijmy, jeszcze czym są ułamki proste.
Ułamkiem prostym nazywamy funkcję wymierną jednej z postaci:
gdzie
- wielomian jest nierozkładalny, czyli wyróżnik
i
,
,
.
Więcej informacji na ten temat znajdziesz w rozdziale: Funkcje wymierne. A teraz przejdźmy do przykładów.
Całkowanie z wykorzystaniem rozkładu na ułamki proste
Oblicz całkę .
Aby obliczyć powyższą całkę, skorzystamy z rozkładu na ułamki proste funkcji podcałkowej.
W mianowniku powyższgo wyrażenia wymiernego znajduje się iloczyn czynników i
. Oba te czynniki są wielomianami stopnia pierwszego, zatem ułamki proste o mianownikach równych tym czynnikom będą miały postać:
i
, gdzie
i
są pewnymi stałymi, które obliczymy rozwiazując równanie:
Porządkujemy wyrazy względem zmiennej :
Porównujemy obie strony równania. Dwa wielomiany są równe, jeżeli ich współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej są takie same. Stąd otrzymujemy:
Po podstawieniu obliczonych współczynników otrzymujemy, że:
Obliczamy całkę.
Zaznacz co jest prawdą, a co fałszem.
Przykład
Oblicz całkę .
Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste. W mianowniku funkcji podcałkowej znajdują się czynniki: oraz
.
- Pierwszy z tych czynników czyli
jest podniesiony do kwadratu. Oznacza, to że rozkładając funkcję na ułamki proste dodajemy dwa ułamki:
- gdzie czynnik
występuje w pierwszej potędze i
- gdzie czynnik
występuje w drugiej potędze.
i
są nieznanymi stałymi, które będziemy obliczać na podstawie równania.
- Drugi czynnik, czyli
jest nierozkładalnym trójmianem (
). Rozkładając funkcję na ułamki proste dodamy ułamek postaci
, gdzie
i
są nieznanymi stałymi, które obliczymy na podstawie równania.
W liczniku został wpisany wzór (a nie tylko stała
), dlatego że ułamki proste, które w mianowniku mają nierozkładalny trójmian kwadratowy, w liczniku mogą mieć także wielomian pierwszego stopnia, czyli wielomian postaci
Rówannie na podstawie, którego obliczymy nieznane stałe i
przyjmuje postać:
Porównując wielomian po lewej stronie równania i wielomian po prawej stronie równania otrzymujemy układ równań z niewiadomymi :
Kiedy już funkcję podcałkową mamy rozłożoną na ułamki proste, możemy przejść do całkowania.
W jaki sposób otrzymaliśmy wynik zobacz poniżej, gdzie kolejno są omówione wszystkie trzy całki:
- Wynik pierwszej całki otrzymujemy automatycznie (licznik jest pochodną mianownika), zatem stosujemy wzór:
- Oblicznie drugiej całki również nie wymaga skomplikowanych rachunków. Korzystamy ze wzoru
. W tym przypadku
,
,
.
- Pozostaje do obliczenia trzecia całka:
. pierwszym krokiem jaki wykonamy, jest przekształcenie licznika w taki sposób, aby znalazła się tam pochodna mianownika. Pochodna mianownika, to
. Zauważ, że
, dlatego:
Wykonujemy rozdzielenie na dwie całki:
Wynik pierwszej całki otrzymujemy automatycznie (licznik jest pochodną mianownika). Jeżeli chodzi o drugą powstałą całkę, to wykonujemy sprowadzenie do arctan (zobacz: sprowadzanie do arctan.)
Zobacz rozwiązanieOblicz całkę
.
Zobacz rozwiązanieOblicz całkę
.
Przeczytaj także:
- Całkowanie przez części
- Całkowanie przez podstawienie
- Całki funkcji elementarnych
- Całkowanie funkcji wymiernych cz. I - uwagi ogólne
- Całkowanie funkcji wymiernych cz. II - sprowadzanie do logarytmu
- Całkowanie funkcji wymiernych cz. III - sprowadzanie do funkcji arctan
- Całkowanie funkcji wymiernych cz. V - funkcje wymierne niewłaściwe
COMMENT_CONTENT