Wzór na objętość stożka

Objętość stożka liczymy ze wzoru ogólnego:

V = \frac{1}{3}P_P * H

objętość stożka

W przypadku stożka w podstawie mamy koło, więc nasz wzór ostatecznie wygląda tak: 

V = \frac{1}{3} \pi r^2 * H

Przykład 1

Oblicz objętość stożka o wysokości 5 cm i promieniu podstawy 3 cm. 

Mając powyższe dane z treści zadania możemy od razu podstawić do wzoru na objętość stożka. 

V = \frac{1}{3} \pi r^2 * H

V = \frac{1}{3} \pi 3^2 * 5 = 3 * 5 * \pi = 15 \pi

Odp: Objętość stożka wynosi 15 \pi cm^3

Przykład 2

Oblicz objętość stożka którego pole podstawy wynosi 25 \pi cm kwadratowych, a jego wysokość jest dwa razy dłuższa od promienia podstawy.

Wiemy, że pole podstawy stożka (pole kuli) wynosi 25 \pi. Musimy obliczyć na tej podstawie promień podstawy, aby móc obliczyć wysokość stożka, która z kolei jest nam potrzebna, aby obliczyć jego objętość. 

Rozwiązujemy równanie wykorzystując wzór na pole koła, naszą niewiadomą jest r:

P_K = \pi r^2

25\pi = \pi r^2

Dzielimy przez \pi obie strony równania: 

25 = r^2

r = \sqrt{25}

r = 5

Mając promień podstawy stożka, obliczamy wysokość: 

H = 2r = 2 * 5 = 10

Teraz możemy już obliczyć objętość stożka: 

V = \frac{1}{3} P_P * H = \frac{1}{3} 25 \pi 10 = \frac{250 \pi}{3}

Odp: Objętość stożka wynosi \frac{250 \pi}{3} cm^3


Zadanie 1

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120^{\circ}. Wysokość tego stożka ma długość 6. Oblicz objętość stożka.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Objętość stożka wynosi 27\pi, a długość jego wysokości to 3. Oblicz kąt nachylenia tworzącej tego stożka do płaszczyzny podstawy.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Kąt nachylenia tworzącej stożka do jego płaszczyzny podstawy wynosi 45^{\circ}. Wysokość tego stożka ma długość 6. Objętość stożka wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Oblicz objętość kuli opisanej na stożku o objętości V, którego tworząca jest nachylona do podstawy pod kątem \alpha.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła  o promieniu R i kącie \alpha. Oblicz objętość stożka.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz