Wzór na przekątną sześcianu

Długość przekątnej sześcianu obliczamy ze wzoru: 

d = a\sqrt{3}

przekątna sześcianu

Długość przekątnej sześcianu możemy obliczyć "na piechotę" korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Spójrz na  poniższy rysunek:

Przekątna podstawy to przekątna kwadratu, czyli ma długość a\sqrt{2}

a^2+(a\sqrt{2})^2=d^2

a^2+2a^2=d^2

3a^2=d^2

d = a\sqrt{3} lub d = -a\sqrt{3}

Długość przekątnej jest dodatnia dlatego odrzucamy drugie (ujemne) rozwiązanie. 

Przykład 1

Oblicz długość przekątnej sześcianu o boku 3 cm. 

W tym przypadku wystarczy tylko podstawić do wzoru i otrzymamy wynik: 

d = a\sqrt{3} = 3\sqrt{3}

Przekątna tego sześcianu ma długość 3\sqrt{3} cm

Przykład 2

Oblicz objętość sześcianu, którego przekątna ma długość 9 cm. 

Najpierw musimy obliczyć długość boku sześcianu: 

d = a \sqrt{3}

a = \frac{d}{\sqrt{3}}

Gdy mamy wyliczoną długość boku możemy skorzystać ze wzoru na objętość sześcianu: 

V = a^3 = \left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{9^3}{\sqrt{3}^3} = \frac{729}{3\sqrt{3}} = \frac{243}{\sqrt{3}} = \frac{243\sqrt{3}}{3} = 81\sqrt{3}

Objętość tego sześcianu wynosi 81\sqrt{3} cm sześciennych.


Zadanie 1

Przekątna sześcianu ma długość 3\sqrt{3}. Objętość tego sześcianu wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Jeżeli przekątna sześcianu ma długość 4\sqrt{3} to długość jego krawędzi wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Wykaż, że jeżeli a jest długością krawędzi sześcianu, to długość przekątnej tego sześcianu możemy obliczyć korzystając ze wzoru d=a\sqrt{3}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4


Przekątna sześcianu ma długość d=3\sqrt{3}. Jaką długość ma bok tego sześcianu?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Niech   d będzie  długością  przekątnej sześcianu. Udowodnij, że objętość sześcianu można obliczyć korzystając ze wzoru V=\cfrac{d^3}{3\sqrt{3}}

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz