Definicja logarytmu.

Załóżmy, że  a \in \mathbb{R}^+\setminus \{1\} i b \in \mathbb{R}^+. (Czyli, a jest liczbą rzeczywistą, dodatnią i nie jest jedynką, natomiast o b  zakładamy, że jest liczbą rzeczywistą dodatnią.)

Definicja: Logarytm

Logarytmem o podstawie a z liczby b nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c jest równe b, tzn:

\log_{a}b=c wtedy i tylko wtedy, gdy  a^c=b

 

UWAGA!

Logarytmowanie jest operacją odwrotną do potęgowania i jest to tak naprawdę zgadywanie, do której potęgi trzeba podnieść podstawę logarytmu (czyli a), aby otrzymać liczbę b. Spójrz na przykład poniżej.

 

 

Przykład 1:

Oblicz \log_{2}8.

Aby obliczyć logarytm, zgadujemy  do której potęgi musimy podnieść liczbę 2, aby otrzymać 8. Ponieważ 2* 2 * 2=2^3=8, to oznacza, że liczbę 2 (czyli podstawę logarytmu) musimy podnieść do trzeciej potęgi, aby otrzymać liczbę 8.

\log_{2}8 = 3, ponieważ 2^3 = 8

Wnioski
  • \log_{a}1=0,  ponieważ a^0=1
  • \log_{a}a=1 ,  ponieważ a^1=a
  • a^{\log_{a}b}=b

Zwróć uwagę na ostatni wniosek. Jeżeli logarytm znajduje się w potędze pewnej liczby a, i logarytm ten ma tą samą podstawę a, to bardzo szybko otrzymujemy jako wynik liczbę logarytmowaną b. Np.

  • 4^{\log_{4}\sqrt{50}}=\sqrt{50}
  • 5^{\log_{5}6}=6
  • 13^{\log_{13}18}=18

Logarytm naturalny.

 

Logarytmem naturalnym nazywamy logarytm, którego podstawą jest liczba e. Zapisujemy to następująco:

\log_{e}a=\ln{a}

Przykład 2:

Oblicz \ln{e^2}

\ln {(e^2)} = \log_{e}(e^2)= 2

Logarytm dziesiętny.

Definicja: Logarytm dziesiętny.

Logarytmem dziesiętnym nazywamy logarytm, którego postawą jest liczba 10. Co zapisujemy:

\log_{10}a=\log a

Przykład 3:

Oblicz \log 100

\log 100 = 2, ponieważ 10^2 = 100

Logarytm iloczynu.

 

Wzór: Logarytm iloczynu.

\log_{a}(x* y)=\log_{a}(x)+\log_{a}(y)

gdzie:

a \in R^+ \setminus  \begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix} ( Czyli, a jest liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od 1).

x,\ y \in R^+ ( x i y to liczby rzeczywiste dodatnie)

 

UWAGA!

Wniosek z powyższego: Logarytm można zawsze przedstawić jako sumę logarytmów.

Przykład 4:

 \log_{2}(8* 4)=\log_{2}(8)+\log_{2}(4)=3+2=5

 

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Jeżeli \log_{2}( {x+2}) = 1 to x=3
Jeżeli \log_{3} {(9x)} = 3 to x=3

Logarytm ilorazu.

 

Wzór: Logarytm ilorazu.

\log_{a}{\left(\cfrac{x}{y}\right)}=\log_{a}(x)-\log_{a}(y)

gdzie:

a \in R^+ \setminus  \begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix}

x,y \in R^+

 

Przykład 5:

\log{\cfrac{16}{9}}=\log(16)-\log(9)

 

 

Logarytm potęgi.

 

Wzór: Logarytm potęgi

\log_{a}{\left(b^c\right)}=c \log_{a}{b}

gdzie:

a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}

b \in \mathbb{R}^+

c \in \mathbb{R}

Jeżeli logarytmujemy potęgę, gdzie podstawa potęgi jest liczbą dodatnią, to wykładnik potęgi możemy przenieść przed logarytm.

 

 

Przykład 6:

\log_{2}{(8^3)}=3 \log_{2}{8}=3* 3=9

 

 

Zaznacz co jest prawdą a co fałszem

Przykład

Rozwiążmy kilka zadań stosując wprowadzone wcześniej wzory na logarytmach.

Przykłady:

a)\ \log_{4}{48}-\log_{4}{3}=\log_{4}{\cfrac{48}{3}}=\log_{4}{16}=2  bo 4^2=16

 

b)\ \log_{\cfrac{1}{2}}{8}-\log_{4}{32}=-3-\log_{4}{(16 * 2)}=-3-(\log_{4}{16}+\log_{4}{2})=

= -3-(2+\cfrac{1}{2})= -3-2\cfrac{1}{2}=-5\cfrac{1}{2}

 

c)\ 2^{\log_{2}{5}}+2\log_{5}{25}=5+2* 2=5+4=9


Zadanie 1

Rozwiąż równanie:

\cfrac{2}{\log^2_{x}2}+5\log_{2}x-3=0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Wynikiem działania \log{42}-2\log{6} jest:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Oblicz:

3(\log_{2}{16}+\log_{3}{27})

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

Oblicz:

\log_{4}27 * \log_{\sqrt{3}}{64}

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

Wiedząc, że  

\left\{\begin{matrix}
\log_{2}{ab}=9\\ 

\log_{2}{\cfrac{b}{a}}=3

\end{matrix}\right.

oblicz \sqrt[3]{a+b+53}.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

Liczba 2 * log_36 - log_34 jest równa

Rozwiązanie video

Zadanie 7

Wiedząc, że  

\log_{3}{a}=\log_{6}{b}=\log_{9}{c}=2

oblicz a+b+c.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

Wiedząc, że:

\left\{\begin{matrix}
\log_{2}{a}+\log_{2}{b}=6\\ 
\log_{2}{\cfrac{b}{a}}=2
\end{matrix}\right.

Oblicz a i b.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

Oblicz:

3(\log_{2}{32}+\log_{3}{81})

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

Wiedząc, że  

1+\log_{2}{a}=\log_{2}{3}+\log_{2}{6}

\log_{3}{3b}=\log_{3}{24}-\log_{3}{2}

\log\cfrac{c}{5}=1-\log{2}

oblicz średnią arytmetyczną liczb a,\ b i c, oraz ich średnią ważoną, jeżeli wagi wynoszą kolejno 2,3 i 5.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

Oblicz:

\log(\log_{6}32+5\log_{6}3)+\cfrac{\log_{5}{2}}{\log_{5}{2}+1}

 

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

Wiadomo, że \log_{14}2 \approx 0,27 i \log_{14}3 \approx 0,42. Oblicz  \log_{21}7.

Wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

Wiadomo, że \log_{12}2\approx 0,28 i \log_{12}3 \approx 0,44. Oblicz \log_{18}108.

Wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

Rozwiąż graficznie równanie:

\log_{3}(x-2)-\cfrac{1}{2}|x-3|=0.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

Wynikiem działania \log_{4}{3}+\log_{4}{\cfrac{1}{3}} jest:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

Liczba \log{18} jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

Liczba \log{16} jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

Liczba \log{64} jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

Wartość wyrażenia \log_{2}{4}-\log_{\frac{1}{2}}{8}+3\log_{2}{8} wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

Wartość wyrażenia \log_{3}{27}+\log_{\frac{1}{2}}{2}-\log_{\frac{1}{2}}{4} wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

Wiedząc, że:

\left\{\begin{matrix} \log_{2}{a}+\log_{2}{b}=4\\  \log_{3}{a}-\log_{3}{b}=2 \end{matrix}\right.

Oblicz a i b.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

11 komentarzy

  1. Als16 20111121161627 thumb
    als16 22.11.2011 14:39

    Bardzo pomocna strona.!

  2. Tutejszy 20120124221122 thumb
    tutejszy 24.01.2012 22:39

    extra ! wszystko ogarnąłem bez problemu od A do Z

  3. Default avatar
    konto-usuniete 25.01.2012 21:35

    Bardzo się cieszę:)

  4. Alicee 20111118152415 thumb
    Alicee 25.03.2012 13:45

    Wszystko załapałam bez problemu, gdyby nie ta strona zginęłabym na lekcjach ;)

  5. Lukasz 20120124104827 thumb
    lukasz 26.03.2012 22:06

    Cieszę się, że wszystko jest tak dobrze wyjaśnione, że zrozumienie nie sprawia wam problemu :) Powodzenia na maturze.

  6. D mek 20120307223004 thumb
    d_mek 07.05.2012 12:53

    @Łukasz
    Skoro daliście już logarytm dziesiętny i naturalny, to mogliście dać również logarytm binarny :)

  7. Default avatar
    korneelciaa 07.05.2012 17:39

    powoli ogarniam

  8. Pawwasek 20120206081318 thumb
    pawwasek 30.08.2012 17:23

    bardzo pomocna stronka,ale chciałbym czegoś więcej się nauczyć:)
    Ale bardzo wam dziękuję

  9. Default avatar
    Kasia12656 08.12.2013 13:36

    Pomocna strona? działania bez rozpisywania w niczym mi nie pomoga, skoro nie wiem skad sie wziely.;/

  10. Aga1315 20141116134412 thumb
    aga1315 16.11.2014 14:16

    przydałoby się rozpisywanie :/

  11. Cziki1997 20170104155327 thumb
    cziki1997 04.01.2017 16:42

    zajefajna stronka szybko można sie nauczyć

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz