Drukuj

Różne przekroje graniastosłupów

Poniżej kilka przykładów przekrojów graniastosłupów płaszczyzną:

  • Przekrój sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i przekątną ściany bocznej.

  • Przekrój sześcianu płaszczyzną zawierającą jego przekątną.

 

  • Przekrój prostopadłościanu płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środki przeciwległych krawędzi bocznych.

 

  • Przekrój graniastosłupa trójkątnego płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środki dwóch krawędzi przeciwległej podstawy.

 

Przykład 1

Graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i przekątną ściany bocznej. W przekroju otrzymano trójkąt równoramienny, którego kąt między ramionami ma miarę \alpha. Długość krawędzi podstawy wynosi a. Oblicz objętość graniastosłupa.

Rysunek pomocniczy:

Objętość graniastosłupa:

V=P_p * H

Aby obliczyć objętość graniastosłupa, musimy znać jego pole podstawy oraz wysokość.

Ponieważ podstawą graniastosłupa jest kwadrat o boku długości a, to pole podstawy wynosi

P_p=a^2.

Aby obliczyć wysokość zastosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta ABB':

 a^2+H^2=x^2

H=\sqrt{x^2-a^2}

Nie wiemy jaką długość ma przekątna ściany bocznej x, ale obliczymy jej długość korzystając z twierdzenia Cosinusów, zastosowanego do trójkąta AB'D'.

Długość przekątnej podstawy B'D' wynosi:

|B'D'|=a\sqrt{2}

ponieważ jest to przekątna kwadratu. Otrzymujemy zależność:

(a\sqrt{2})^2=x^2+x^2-2x^2\cos\alpha

Obliczamy x^2:

2a^2=2x^2(1-\cos\alpha)

a^2=x^2(1-\cos\alpha)

x^2=\cfrac{a^2}{1-\cos\alpha}

Wracamy do obliczenia wysokości graniastosłupa:

H=\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{\cfrac{a^2}{1-\cos\alpha}-a^2}=\sqrt{\cfrac{a^2-a^2(1-\cos\alpha)}{1-\cos\alpha}}=

=\sqrt{\cfrac{a^2(1-1+\cos\alpha)}{1-\cos\alpha}}=a\sqrt{\cfrac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}

 Obliczamy objętość graniastosłupa:

V=P_p * H=a^2* a\sqrt{\cfrac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=a^3\sqrt{\cfrac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}


Zadanie 1
Premium

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym, kąt nachylenia dłuższej przekątnej do płaszczyzny podstawy wynosi 45^{\circ}. Wysokość tego graniastosłupa wynosi 6. Oblicz długość krawędzi podstawy.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz