Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa obliczamy jako iloczyn pola podstawy oraz wysokości graniastosłupa.

V=P_p * H

Pole podstawy będziemy liczyć różnie w zależności od tego jaka figura jest tą podstawą. Może to być trójkąt, kwadrat, prostokąt, romb lub dowolny inny wielokąt.

Przykład 1

Oblicz objętość graniastosłupa, który w podstawie ma kwadrat o boku 4 cm, a jego wysokość wynosi 7 cm. 

Najpierw musimy obliczyć pole podstawy graniastosłupa. W naszym przypadku mamy w podstawie kwadrat o boku długości 4 cm, czyli jego pole obliczamy jako 

P_{p} = a^2 = 4^2 = 16

Teraz już możemy skorzystać ze wzoru na objętość graniastosłupa:

V= P_p * H = 16 * 7 = 112 cm^3

Odp: Objętość graniastosłupa wynosi 112 cm^3.

Przykład 2

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego przekątna o długości 10 jest nachylona do podstawy pod kątem 60^{\circ}.

Najpierw najlepiej wykonać rysunek pomocniczy i zaznaczyć na nim wszystkie dane z zadania.

 

Z danych zadania wiemy, że:

d=10

Podstawą jest kwadrat ( bo graniastosłup jest prawidłowy czworokątny).

Ponieważ suma miar kątów w trójkącie to 180^{\circ} to zaznaczony czerwonym kolorem trójkąt jest połową trójkąta równobocznego.


 Mając dane d=10 możemy obliczyć pozostałe boki zaznaczonego trójkąta.

a\sqrt{2}=\cfrac{d}{2}

H=\cfrac{d\sqrt{3}}{2}

Zatem:

a\sqrt{2}=\cfrac{10}{2}=5

a=\cfrac{5}{\sqrt{2}}

 

H=\cfrac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}

 

 Teraz znamy już wszystkie wymiary graniastosłupa, zatem możemy obliczyć jego objętość. Ponieważ podstawą danego graniastosłupa jest kwadrat, to pole podstawy wynosi:

P_p=a^2=\left(\cfrac{5}{\sqrt{2}}\right)^2=\cfrac{25}{2}

Obliczamy objętość:

V=P_p * H=\cfrac{25}{2} * 5\sqrt{3}=\cfrac{125\sqrt{3}}{2}


Zadanie 1

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi 36. Objętość tego sześcianu jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi  54\ cm^2. Objętość tego sześcianu jest równa:

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym, przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 60^{\circ}. Krawędź podstawy ma długość 5\ cm. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

Brak komentarzy

Dodaj komentarz

Musisz się zalogować aby dodać komentarz